例 5 把 1 至 8 八個數分別填入圖中的八個○內，使每個圓周上五個數的和都等于 21。

　　解：設兩個圓的交叉點上的兩個○內各是 a、b。那么，在計算兩個大圓 周上 10 個數的和時，a、b 兩數都多加了一次，所以 1+2+⋯⋯+8+a+b 除以 2 應該是 21，即 36+a+b=21×2，從而得 a+b=6。

　　在 1 至 8 八個數中，只有 1 和 5，2 和 4 這兩組數的和是 6。

　　(1)如果中間兩個○內分別填 1 和 5，另外三個○①內三個數的和都應 當是 21-6=15，在 2，3，4，6，7，8 這六個數中，和相等的數只有 2，6，7 和 3，4，8。

　　(2)如果中間兩個○內填 2 和 4，其他的數可分成兩組 1，6，8 和 3，5，7，分別填入○中。

　　例 6 把 1 至 7 七個數填在右圖的○內，使每條線上三個數的和都相等。

　　(1988 年無錫市小學生數學競賽試題)

　　解：本題是例 3 的發展，設中心數為 x，其余各數分別為 a、b、c、d、e、f。根據例 3 的分析，x 可取 1、4、 7。

　　(1)當=1 時，則得每條線上三個數的和為 10。

　　a+b+c+d+e+f=28-x=-27。 但 a+c+e=10，b+d+f=10，

　　于是 a+b+c+d+e+f=20。兩種結果產生矛盾，因此，x 不能為 1。

　　(2)當 x=4 時，則得每條線上三個數的和為 12。

　　a+b+c+d+e+f=28-x=24。

　　但 a+c+e=12，b+d+f=12， 于是 a+b+c+d+e+f=24。

　　兩種結果一致，因此，x 可為 4。

　　因為 1+7+4=12，6+2+4=12，5+3+4=12，而且 7+2+3= 12，1+6+5=12， 所以可得解。

　　圖中當 1 的位置確定后，5 與 6 可以對換，(3 與 2 也相應的對換)，因 此有兩種不同的形式。而 1 在外圈上有三個位置可選擇，有三種不同形式， 這樣就有 2×3=6 種不同形式。外圈上三個數與內圈上三個數可同時交換，因 此，本題有 6×2=12 種不同形式。

　　(3)當 x=7 時，無解。

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