例 2 把 4 至 12 填在 3×3 的方格內，制成三階幻方。 解：(1)求幻和：(4+5+⋯⋯+12)÷3=72÷3=24。

　　(2)求中心數：∵72+3b2=24×4，∴3b2=24，∴b2=8。(3)確定四角 數：由上題九個數中有五個為奇數，中心數為奇數，四角數為偶。現在九個數中五個為偶數，中心數為偶數，猜想四角數應為奇數，經驗證這個猜想是 正確的，所以在四個角上填 7、5、9、11。填其余數字就容易了(如圖 6)

　　數陣是一種由幻方演變而來的數字圖。數陣可以分為輻射型、封閉型、 既輻射又封閉的復合型數陣。

　　例 3 將 1 至 7 七個數字填入圖中的圈內，使每條線上的三個數的和相等。

　　解：首先確定中心數。不妨設中心數為 a，則 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3整除。所以， (28+2a)÷3=28÷3+2a÷3。其中，28÷3 商 9 余 1。因此，2a÷3 的余數必須是 2，那么當 a 是什么數時 2a÷3 的余數才是 2 呢?為此， 我們在 1～7 六個數中試驗選擇如下：

　　當 a=1 時， 2a÷3=2÷3 商 0 余 2;(符合要求) 當 a=2 時， 2a÷3=4÷3 商 1 余 1;

　　當 a=3 時， 2a÷3=6÷3 商 2 余 0;

　　當 a=4 或 7 時，余數也是 2。(符合要求)

　　所以，當 a=1、4、7 時，2a÷3 的余數是 2，即中心數為 1，4，7。

　　當 a=l 時，(28+2)÷3=10，所以除中心數外，其他兩個數的和是

　　10-1=9，只要把 2、3、4、5、6、7 按和為 9 分成三組填入○內即可。 當 a=4 時，(28+8)÷3=12，除中心數外其他兩個數的和為 8。

　　當 a=7 時， (28+14)÷3=14，除中心數外其他兩個數的和為 7。

　　例 4 將 1 至 6 分別填入圈內，使各邊上三個○內數字和相等。

　　解：首先應確定三個頂點上○內的數字。

　　用 k 表示每邊上三個○內的數字和，用 a、b、c 分別表示三個頂點○內的數字，因為三個頂點上的數在求和時多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c=3k，21+a+b+c=3k，即 k=(21+a+b+c)÷3。

　　又因為 a、b、c 可以分成七組數：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，2，6;1，3，5；2，4，6。

　　我們把這四組 a+b+c 的和與 k 的值列表如下：

　　從表中看出，當 a+b+c 的最小值是 1+2+3=6 時，k 的最小值是 9。 當 a+b+c 的值最大是 4+5+6=15 時，k 的最大值是 12。

　　1.當 a+b+c=6，k=9 時，a、b、C 分別是(1，2，3)、(1，3，2)、

　　(2，1，3)、(2，3，1)、(3，1，2)、(3，2，1)，那么，其余三個

　　○內分別填 4、5、6。我們可以填出六種解法：

　　從上面答案可發現，只要把一個解中的數左右旋轉或適當調換就可以得

　　到其余的五個解。我們把第一個解叫做基本解，其余的五個解看作與基本解是同一個解。

　　2.當 a+b+c=9，k=10 時，試驗如下：

　　(1)如果 a=1，b=2，c=6(如右圖)，那么在三角形底邊上只有填 2， 才能使底邊上○內數的和是 10，但這樣重復，因此無解。

　　(2)如果 a=1，b=3，c=5，那么其余三個○內分別填 2、4、6，得本題 的第二個基本解。

　　(3)a=2，b=3，c=4 時，無解。

　　3.當 a+b+c=12，k=11 或 a+b+c=15，k=12 時，用上面同樣的方法得 到下面的兩個基本解：

　　從上面分析，我們可以看到，每一個基本解可得六個解，本題共有 24

　　個解，但是今后解答這類問題時，只要求基本解就可以了。