小學數學總復習專題講解及訓練(七)

　　主要內容

　　正比例和反比例

　　學習目標

　　1、使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。

　　2、使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線，能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。

　　3、使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步提升思維水平。

　　4、使學生進一步體會數學與日常生活的密切聯系，增強探索數學知識和規律的意識，養成積極主動地參與學習活動的習慣，提高學好數學的信心。

　　考點分析

　　1、兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。

　　如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：= K(一定)。

　　2、用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據一種量的值，估計另一種量相對應的值。

　　3、兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。

　　如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的積，反比例關系可以用這樣的式子來表示：xy = K(一定)。

　　4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例;兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例;沒有上述兩種關系，這兩個變量不成比例。

　　典型例題

　　例1、(正比例的意義)一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系?

　　分析與解：

　　(1)從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。

　　(2)從左往右看，時間擴大，路程也擴大;從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關聯的量。

　　(3)路程和時間的比值始終不變，……這個比值就是火車的行駛速度。

　　通過觀察和計算，我們對路程和時間的關系有兩點發現：第一點路程和時間是兩種相關聯的量，也就是時間變化，路程也隨著變化;第二點路程和對應的時間的比的比值(也就是速度)是一定的，有這樣的關系：

　　具備了這兩個條件，我們就可以得到結論：行駛的路程和時間成正比例關系;行駛的路程和時間成正比例的量。

　　點評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量;二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：

　　例2、(判斷是否成正比例)

　　練習本的單價一定，買練習本的數量和總價是不是成正比例?為什么?

　　分析與解：根據正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。

　　買練習本的數量和總價是兩種相關聯的量，它們與練習本的單價有下面的關系：

　　所以練習本的數量和總價成正比例。

　　例3、(正比例的圖像)磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關系如下。

　　(1)圖中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。

　　(2)連接各點，它們在一條直線上嗎?

　　(3)根據圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米?行駛30千米大約需要幾分鐘?

　　分析與解：根據提供的各組數據描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應的數的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據時間的值估計出路程的值，也可以根據路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。

　　(1)描點、連線如圖。

　　(2)在一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。

　　(3)根據圖像，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米;行駛30千米大約需要4.3分鐘。

　　例4、(辨析)圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例?

　　分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。

　　可列表判斷。

　　圓的周長和直徑的相對應的數的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。

　　圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。

　　例5、(反比例的意義)

　　下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系?

　　分析與解：

　　(1)從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數和加工的時間兩種量。

　　(2)從左往右看，每小時加工零件的個數擴大，加工的時間反而縮小;從右往左看，每小時加工零件的個數縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯的量。

　　(3)每小時加工零件的個數和相對應的加工的時間的積都始終不變，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而這個積就是這批零件的總個數。

　　通過觀察和計算，我們發現：每小時加工零件的個數和加工的時間是兩種相關聯的量，每小時加工零件的個數隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應的積是一定的，有這樣的關系：每小時加工零件的個數 × 加工的時間 = 零件的總個數(一定)。

　　所以每小時加工零件的個數和加工的時間成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。

　　點評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量;二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：xy = K(一定)。