13.如圖所示,A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面積分別是5、3、4,求A、B、C三個圖形公共部分(陰影部分)的面積.

14.分母是385的最簡真分數有多少個,并求這些真分數的和.

———————————————答 案——————————————————————

    1.  26

從圖中可以看出全班45人,借語文或數學課外讀物的共39+32=71(人),超過全班人數71-45=26(人),這26人都借了語文、數學兩種課外書。

2．  67

將長方形和正文形面積相加，則圖中陰影部分即三角形面積被多算了一次，即這兩個圖形蓋住的圖形面積為 (平方厘米).

3.  32

在1到100這100個自然數中,5的倍數有20個,7的倍數有14個,既是5的倍數又是7的倍數有2個,故5的倍數或7的倍數的個數是20+14-2=32.

4.  45

從圖中可以看出:懂俄語的人數(即陰影部分)等于總人數減去只懂英語的人數,即100-(75-20)=45(人)

5.  19

所求人數=全班人數-(會騎車人數+會游泳人數-既會騎車又會游泳人數)=46-(17+14-4)=19(人)

6.  6857

在1到10000中,能被5整除的有 (個),能被7整除的有 (個),能被35整除的有 (個).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(個).從而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(個).

7.  9883

1~10000中完全平方數有100個(因為100²=10000),完全立方數有21個(因為21³<10000<22³),完全六次方數有4個(因為4⁶<10000<5⁶)

故1~10000中是完全平方數或完全立方數的數共有100+21-4=117個;從而既不是完全平方數,又不是完全立方數的數有10000-117=9883(個).

8.  4

9.  720

1~1001中,有7的倍數 (個);有11的倍數 (個),有13的倍數 (個);有7´11=77的倍數 (個),有7´13=91的倍數 (個),有11´13=143的倍數 (個).有1001的倍數1個.

由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的數有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(個),從而不能被7、11或13整除的數有1001-281=720(個).也就是說,分母為1001的最簡分數有720個.

10.  31,56

如圖,當100人都是或者音樂愛好者,或者體育愛好者時,這兩者都愛好的人數為最小值即56+75-100=31(個).

當所有的音樂愛好者都是音樂愛好者時,這兩者都愛好的人數最大可為56人.

11.        如圖,選甲乙而不選丙的有a=29-24=5(人),選甲丙而不選乙的b=28-

24=4(人),選乙丙而不選甲的有c=26-24=2(人), 僅選了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),僅選了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少選了一科的人數是:甲+d+c+e=45(人),故三門均未選的人數為50-45=5(人).

12.  由第9題的結論知分母是1001的最簡分數的個數是720.又真分數 和真分數  (a與1001互質)是成對出現的,故上述720個真分數可以分成360對,每一對=數之和為1,故上述720個分母是1001的真分數之和為360.

所以所有小于1001且與1001互質的數之和為360´1001=360360.

13.        設陰影部分的面積是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.

14.        因為385=5´7´11,故在1~385這385個自然數中,5的倍數有

(個),7的倍數有 (個),11的倍數有 (個),                       5´7=35的倍數有 (個),5´11=55的倍數有 (個),7´11=77的倍數有 =5(個),385的倍數有1個.

由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的數有77+55+35-(11+7+5)+1=145(個),而5、7、11互質的數有385-145=240(個).即分母為385的真分數有240(個).

如果有一個真分數為 ,則必還有另一個真分數 ,即以385為分母的最簡真分數是成對出現的,而每一對之和恰為1.故以385為分母的240最簡分數可以分成120時,它們的和為1´120=120.