數學家的故事：歐幾里得的《幾何原本》

　　完全數

　　此外，歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數做了探究，他通過 2^(n-1)·(2^n-1) 的表達式發現頭四個完全數的。

　　當 n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 當 n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 當 n= 5: 2^4(2^5-1) = 496 當 n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 一個偶數是完全數，當且僅當它具有如下形式:2^(n-1).(2^n-1)，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

　　其中2^(n)-1是素數，上面的6和28對應著n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^(n)-1 的素數(即梅森素數)，也就知道了一個偶完全數。在手算時代梅森素數可使人們更方便的計算完全數，在計算機時代更是得到了廣泛深入的應用，計算機的CPU可以更方便的計算各種數。

　　盡管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。

　　首五個完全數是:

　　6

　　28

　　496

　　8128

　　33550336(8位)