【答案】

　　解答這道題的關鍵在于根據已知條件1、2、5和6列出五個方程來，同時根據已知條件4列出三個方程。需要注意的是，在這三個方程中只有一個是正確的。

　　現在假設P為甲身上所帶的1美分硬幣的枚數；N為甲身上所帶的5美分硬幣的枚數；Q為甲身上所帶的25美分硬幣的枚數；T為甲為買糖果所花費的錢款總數(單位為美分)；a為給乙所買的糖果的塊數；b為給丙所買的糖果的塊數；c為給丁所買的糖果的塊數；d為母親所買的紀念品的單價；F為母親所買的紀念品的件數。

　　根據已知條件1，我們可以得出以下兩個方程：

　　1a.P+N+Q=31；

　　1b.P+5N+25Q=T

　　根據已知條件2，我們可以得出以下方程：

　　2.2a+3b+6c=T。

　　根據已知條件3，我們可以得到以下結論：

　　3.a、b、c各不相同而且都大于1。

　　根據已知條件4，我們可以得到以下方程：

　　4.或者2a=3b，或者2a=6c，或者3b=6c。

　　根據已知條件5，我們可以得到以下方程：

　　5.F×d=480。

　　根據已知條件6，我們可以得到以下方程：

　　6.a+b+c=F。

　　根據已知條件7，問題可以重新表述為：

　　7.a、b、c中哪個最大？

　　根據數學常識，我們知道：兩個奇數之和肯定是偶數；兩個偶數之和肯定還是偶數；一個奇數加上一個偶數其和必然是一個奇數。同樣的，兩個奇數相乘，其積必然是奇數；兩個偶數相乘，其積必然是偶數；一個奇數和一個偶數相乘，其積則必然是偶數。

　　帶著這些數學常識去觀察上述方程。在方程1a中，由于三個正整數之和為奇數，所以或者P、N、Q這三個數都是奇數，或者這三個數中只有一個是奇數。但是無論上面哪種情況成立，方程1b中的T則總是奇數，這是由方程本身的結構決定的。根據同樣的道理，方程2中的b也是奇數。因此，在方程4中，2a就不可能等于3b了，這是因為很顯然2a是偶數，而3b是奇數。同樣，3b也不可能等于6c，這是因為6c是偶數，而3b是奇數。因此，在方程4中，唯一成立的是2a=6c，當我們推理到這里時，就可以知道c絕對不是最大的數，因為a必定大于c。這時，我們在方程的左右兩端均除以2，便可以得到a=3c。將這個等式代入方程6中，便可以得到下面的一個方程：b+4c=F。

　　由于b是奇數，所以可以肯定的是，在上面這個方程中F是一個奇數。由于在方程5中，480是F與d的乘積，F是奇數，則d是一個偶數。在這個乘積中，F取到的奇數值只有可能是1、3、5或15。F等于1或3是絕對不可能的，因為假設F等于1或3，那么在方程b+4c=F中，b和c就不可能是正整數了。同樣，根據已知條件3，b和c不可能等于1，所以F也不等于5。因此，F的值一定為15。

　　于是，b+4c=15，而c不能大于3，或者小于1。根據已知條件3，c不能等于1，也不能等于3，所以c必定等于2。將其代入方程b+4c=15中，可以得出b=7，將其代入方程a=3c中，得出a=6。所以，在a、b、c三個數中，b才是最大的數。

　　因此，根據已知條件7，丙才是甲的弟弟。