排列 P------和順序有關

　　組合 C -------不牽涉到順序的問題

　　排列分順序,組合不分

　　例如 把5本不同的書分給3個人,有幾種分法.   "排列"

　　把5本書分給3個人,有幾種分法          "組合"

　　1.排列及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 p(n,m)表示.

　　p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(規定0!=1).

　　2.組合及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號

　　c(n,m) 表示.

　　c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

　　3.其他排列與組合公式

　　從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

　　n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為

　　n!/(n1!*n2!*...*nk!).

　　k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為c(m+k-1,m).

　　排列(Pnm(n為下標，m為上標))

　　Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標和下標) =n!;0!=1;Pn1(n為下標1為上標)=n

　　組合(Cnm(n為下標，m為上標))

　　Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標和下標) =1 ;Cn1(n為下標1為上標)=n;Cnm=Cnn-m

　　2008-07-08 13:30

　　公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元素的總個數 R參與選擇的元素個數 !-階乘 ，如    9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

　　從N倒數r個，表達式應該為n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);

　　因為從n到(n-r+1)個數為n-(n-r+1)=r

　　舉例：

　　Q1:    有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數?

　　A1:     123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。

　　上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個位數則應該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數。計算公式=P(3，9)=9*8*7,(從9倒數3個的乘積)

　　Q2:    有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯盟”，可以組合成多少個“三國聯盟”?

　　A2:     213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計算范疇。

　　上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬于重復的個數即為最終組合數C(3,9)=9*8*7/3*2*1

　　排列、組合的概念和公式典型例題分析

　　例1 　設有3名學生和4個課外小組.(1)每名學生都只參加一個課外小組;(2)每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?

　　解(1)由于每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數，因此共有 種不同方法.

　　(2)由于每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有 種不同方法.

　　點評   由于要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算.

　　例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種?

　　解   依題意，符合要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：

　　∴ 符合題意的不同排法共有9種.

　　點評   按照分“類”的思路，本題應用了加法原理.為把握不同排法的規律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數問題的一種數學模型.

　　例3　判斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計算出結果.

　　(1)高三年級學生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信?②每兩人互握了一次手，共握了多少次手?

　　(2)高二年級數學課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法?

　　(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數：①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積?

　　(4)有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?

　　分析　(1)①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關是排列;②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題.其他類似分析.

　　(1)①是排列問題，共用了 封信;②是組合問題，共需握手 (次).

　　(2)①是排列問題，共有 (種)不同的選法;②是組合問題，共有 種不同的選法.

　　(3)①是排列問題，共有 種不同的商;②是組合問題，共有 種不同的積.

　　(4)①是排列問題，共有 種不同的選法;②是組合問題，共有 種不同的選法.

　　例4　證明 .

　　證明　 左式

　　右式.

　　∴ 等式成立.

　　點評　這是一個排列數等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質 ，可使變形過程得以簡化.

　　例5　化簡 .

　　解法一　原式

　　解法二　原式

　　點評   解法一選用了組合數公式的階乘形式，并利用階乘的性質;解法二選用了組合數的兩個性質，都使變形過程得以簡化.

　　例6　解方程：(1) ;(2) .

　　解 (1)原方程

　　解得 .

　　(2)原方程可變為

　　∵ ， ，

　　∴ 原方程可化為 .

　　即 ，解得

　　第六章  排列組合、二項式定理

　　一、考綱要求

　　1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.

　　2.理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的問題.

　　3.掌握二項式定理和二項式系數的性質，并能用它們計算和論證一些簡單問題.