學而思奧數天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎訓練、考 題學習經歷，并且奧數成績中上的學生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應用和加深各知識點，適合一些志在競賽中 奪取佳績的學生。

　　·本周試題由學而思奧數名師精選、解析，以保證試題質量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時間不應超過15分鐘。答案明日公布！

　　難度：★★★★

　　完全平方數:

　　能不能找到自然數n，使凡，n +97都是完全平方數？

　　【答案】

　　假如存在，不妨設a×a=n+97，b×b=n。那么a×a-b×b=a²-b²=(a+b)×(a-b)=97，以為97是素數（質數），所以如果成立，那么a-b=1，a+b=97
　　a=49, b=48
　　那么n=48×48=2304 n+97=49×49
　　所以存在n為48的平方。


 

　　難度：★★★★★

　　試求一個四位數，它是一個完全平方數，并且它的前兩位數字相同，后兩位數字也相同。

　　【答案】

　　四位數可以表示成
　　a×1000＋a×100＋b×10＋b
　　＝a×1100＋b×11
　　＝11×（a×100＋b）
　　因為a×100＋b必須被11整除，所以a＋b＝11，帶入上式得
　　四位數＝11×（a×100＋（11－a））
　　＝11×（a×99＋11）
　　＝11×11×（9a+1)
　　只要9a＋1是完全平方數就行了。
　　由a＝2、3、4、5、6、7、8、9驗證得，
　　9a＋1＝19、28、27、46、55、64、73。
　　所以只有a＝7一個解；b＝4。
　　因此四位數是7744=11²×8²