例6 某化肥廠生產一批化肥，原計劃每天生產60噸，實際每天比原計劃多生產15噸，結果提前6天完成了任務.這批化肥有多少噸？

（黑龍江省哈爾濱市南崗區）

　　【分析1】如果完成任務后繼續生產6天，就在原計劃天數內超過計劃總數（60+15）×6=450 噸）.這是因為實際每天比原計劃每天多生產15噸，由此可求出原計劃生產天數，再求出這批化肥有多少噸.

　　【解法1】實際再生產6天完成幾噸？

　　（60+15）×6=450（噸）

　　原計劃生產多少天？

　　450÷15=30（天）

　　這批化肥有多少噸？

　　60×30=1800（噸）

　　綜合算式：60×[（60+15）×6÷15]

　　=60×[75×6÷15]=60×[450÷15]

　　=60×30=1800（噸）

　　【分析2】原計劃生產每噸化肥要用天，實際生產每噸化肥要用天，由此可求出實際生產每噸化肥可提前-=（天）.而實際共提前了6天，所以提前的6天里包含天的個數，就是原計劃生產化肥的總噸數.

　　【解法2】實際生產每噸化肥比計劃提前幾天？

　　-=-=（天）

　　這批化肥有多少噸？

　　6÷=1800（噸）

　　綜合算式：6÷（-）

　　=6÷（-）=6÷=1 800（噸）.

　　【分析3】因為每天生產噸數×生產的天數=化肥總噸數，而化肥總噸數一定，所以每天生產噸數和生產的天數成反比例.因為實際每天生產噸數與原計劃每天生產噸數的比是 （60+15）∶60=5∶4，所以實際生產天數與原計劃生產天數的比是4∶5，并且實際比原計劃少用了6天，由此可求出實際生產天數，或原計劃生產天數，那么這批化肥總量即可求出.

　　【解法3】實際與原計劃生產天數的比？

　　60∶（60+15）=4∶5

　　實際生產了多少天？

　　6÷（5-4）×4=24（天）

　　計劃生產多少天？

　　6÷（5-4）×5=30（天）

　　這批化肥有多少噸？

　　60×30=1800（噸）或（60+15）×24

　　=1800（噸）

　　綜合算式： 60×[6÷（1-）]

　　=60×[6÷]=60×30=1800（噸）.

　　或： （60+15）×[6÷（-1）]

　　=75×[6÷]=75×24=1800（噸）.

　　【分析4】如果設這批化肥總噸數為x，那么原計劃生產天數可表示為，實際生產的天數可表示為.因為實際比原計劃少用了6天，所以根據關系式“原計劃生產天數-實際生產天數=提前的天數”可列方程解.

　　【解法4】設這批化肥有x噸.

　　-=6

　　（）x=6

　　x=6÷

　　x=1800

　　答：這批化肥有1800噸.

　　【評注】解法2的思路簡明、新穎獨特，運算簡便，是本題的最佳解法.解法1比較容易想到，但運算太繁.解法3和解法4是運用比、分數和方程的知識解應用題，可作為拓寬解題思路的訓練.

　　例7  管道工廠用10米長的新管，換地下8米長的舊管450根，需要新管多少根？

（北京市東城區）

　　【分析1】先求要換舊管的總長是多少米，再求需要新管多少根.

　　【解法1】要換舊管的總長是多少米？

　　8×450=3600（米）

　　需要新管多少根？

　　3600÷10=360（根）

　　綜合算式：8×450÷10=360（根）.

　　【分析2】用比例解法.因為每根管長×管的根數=換管的總長，要換管的總長一定，所以，每根管的長度和管的根數成反比例.

　　【解法2】設需要新管x根.

　　10x=8×450

　　x=

　　x=360

　　【分析3】由分析2可知，每根管長和需換管的根數成反比例，所以，需要新管根數和舊管根數的比是8∶10，由此可求新管根數.

　　【解法3】450÷10×8=45×8=360（根）.

　　答：需要新管360根.

　　【評注】解法1和解法2都屬于一般解法，解法3是特殊解法，是本題較好的解法.

　　例8   農具廠加工一批零件，計劃每天加工50個，12天完成.要想提前2天完成任務，每天需要加工多少個？

　　（山東省惠民地區）

　　【分析1】先求要加工零件總個數，再求實際用的天數，最后求每天要加工的個數.

　　【解法1】這批零件共有多少個？

　　50×12=600（個）

　　實際用了多少天？

　　12-2=10（天）

　　實際每天需要加工多少個？

　　600÷10=60（個）

　　綜合算式：50×12÷（12-2）

　　=600÷10=60（個）.

　　【分析2】要提前2天完成，實際上就是把計劃2天完成的個數，平均分到前（12-2）天內完成。由此可先求實際每天多加工多少個，再求實際每天加工的個數.

　　【解法2】原計劃2天可加工多少個？

　　50×2=100（個）

　　實際加工多少天？

　　12-2=10（天）

　　實際每天要多加工多少個？

　　100÷10=10（個）

　　實際每天要加工多少個？

　　50+10=60（個）

　　綜合算式：50×2÷（12-2）+50

　　=100÷10+50=10+50=60（個）.

　　【分析3】用分數應用題解法.原計劃每天可加工總數的，它與50相對應.由此運用分數除法可求出總個數，而每天實際加工總數的，所以再運用分數乘法，即可求出實際每天加工個數.

　　【解法3】這批零件共有多少個？

　　50÷=600（個）

　　實際每天加工多少個？

　　600×=60（個）

　　綜合算式：50÷×

　　=600×=60（個）·

　　【分析4】用比例解法。因為“每天加工個數×加工天數=零件總數”，而零件總數一定，所以，每天加工個數和加工的天數成反比例.

　　【解法4】設實際每天加工x個.

　　（12-2）x=50×12

　　x=

　　x=60

　　【分析5】用比例解法.按工程問題來理解，原計劃的工作效率是，實際工作效率是.而原計劃和實際工作效率的比，等于原計劃和實際每天加工個數的比，由此列出比例式.

　　【解法5】設實際每天要加工x個.

　　50∶x=∶

　　50∶x=5∶6

　　x=

　　x=60

　　答：每天需要加工60個.

　　【評注】解法1和解法4分別是算術解法和比例解法，思路簡單，容易想到，是常用解法.解法2和解法5是特殊解法，有利于今后復雜應用題的學習，解法3的思路與解法1基本相同，只是形式不同，這種解法有利于轉換角度思考問題.

　　例9   一個修路隊計劃每天修路25米，實際每天修的是原計劃修的2倍，現在5天修的路，原計劃要用幾天修完？

（北京市海淀區）

　　【分析1】先求出實際每天修多少米，再求實際5天能修多少米，最后求原計劃要用多少天修完.

　　【解法1】實際每天修多少米？

　　25×2=50 （米）

　　實際5天能修多少米？

　　50×5=250（米）

　　原計劃要用多少天？

　　250÷25=10（天）

　　綜合算式：25×2×5÷25

　　=250÷25=10（天）

　　【分析2】用比例解法。因為每天修路米數×修路天數=現在5天的修路長，而現在5天的修路長一定，所以每天修路米數和修路天數成反比例.

　　【解法2】設原計劃要用x天完.

　　25x=（25×2）×5

　　x=

　　x=10

　　【分析3】因為實際每天修路長是原計劃每天修路的2倍，所以，原計劃每天修路長可理解為“1”，實際每天修路長可理解為“2”.由分析2可知，每天修路長和修路天數成反比例，由此可列方程解.

　　【解法3】設原計劃要x天修完.

　　1×x=2×5

　　x=10

　　【分析4】由分析2可知，每天修路長和修路天數成反比例，而實際每天修路長是原計劃每天修路長的2倍，所以，原計劃修路天數是實際修路天數的2倍.由此本題可解.

　　【解法4】5×2=10（天）.

　　答：原計劃要用10天修完.

　　【評注】解法1是一般解法，學生容易想到，但思路曲折，計算較繁，解法2、3、4，恰是由繁到簡的系列解法.其中解法4思路簡明靈活，計算簡便，是本題最佳解法.

　　例10   一個服裝廠原來做一種兒童服裝，每套用布2.2米，現在改進了剪裁方法，每套節省布0.2米，原來做600套這種服裝所用的布，現在可以做多少套？

（河南省南陽地區）

　　【分析1】先求出原來做600套服裝要用布多少米，再求出現在每套用布多少米，將用布總米數除以現在每套用布米數，即得現在可做多少套.

　　【解法1】原來600套服裝用布多少米？

　　2.2×600=1320（米）

　　現在每套服裝用布多少米？

　　2.2-0.2=2（米）

　　現在可以做多少套？

　　1320÷2=660（套）

　　綜合算式：2.2×600÷（2.2-0.2）

　　=2.2×600÷2=1320÷2=660（套）.

　　【分析2】先求出原來600套服裝用新剪裁法可節省布多少米，再求出節省下來的布用新剪裁法可做多少套，再加上原來的600套，即得現在可以做多少套.

　　【解法2】原來600套用新法省布多少米？

　　0.2×600=120（米）

　　節省的布用新裁法可做多少套？

　　120÷（2.2-0.2）=120÷2=60（套）

　　現在可以做多少套？

　　600+60=660（套）

　　綜合算式：0.2×600÷（2.2-0.2）+600

　　=0.2×600÷2+600=120÷2+600

　　=60+600=660（套）.

　　【分析3】先求原來每套用的布采用新裁法可做多少套，即原來的每套用布折合成現在幾套的用布.再用它乘以原來的套數，即得現在可以做多少套.

　　【解法3】原來每套相當于現在的幾套？

　　2.2÷（2.2-0.2）=2.2÷2=1.1（套）

　　現在可以做多少套？

　　1.1×600=660（套）

　　綜合算式：2.2÷（2.2-0.2）×600

　　=2.2÷2×600

　　=1.1×600=660（套）.

　　【分析4】因為每套用布米數×服裝套數=用布總米數，用布的總米數一定，所以每套服裝用布米數與服裝套數成反比例.

　　【解法4】設現在可以做x套.

　　（2.2-0.2）x=2.2×600

　　2x=1320

　　x=1320÷2

　　x=660

　　【分析5】由分析4可知，每套服裝用布米數和可做服裝套數成反比例，所以原來每套用布和現在每套用布的比，等于現在可做套數和原來可做套數的比.由此可先求出原來每套用布和現在的比，再求現在可做多少套.

　　【解法5】原來和現在每套用布的比？

　　2.2∶（2.2-0.2）=2.2∶2=11∶10

　　現在可以做多少套？

　　600÷10×11=60×11=660（套）

　　綜合算式：600×=600×=660（套）.

　　答：現在可以做660套.

　　【評注】解法1和解法2的解題思路比較明顯，容易想到和理解，但運算較繁.解法3和解法5的運算簡單，思路簡單，是本題的較好解法.

 

 

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