例10   8.4÷0.7

（遼寧省沈陽市）

　　【分析1】把小數化成分數，按分數除法法則計算.

　　【解法1】原式=.

　　【分析2】根據除法性質，把小數化成整數，再進行口算.

　　【解法2】原式=（8.4×10）÷（0.7×10）

　　=84÷7=12.

　　【分析3】根據分數與除法的關系，把除法轉化為分數，根據分數基本性質計算.

　　【解法3】原式=

　　【評注】以上三種解法都比列豎式計算簡便，因為都可充分利用口算，提高運算速度.其中解法3為最好.

　　例11  125×16

（湖北省武漢市）

　　【分析1】把16轉化為8×2進行計算.

　　【解法1】原式=125×8×2=1000×2=2 000.

　　【分析2】把125轉化為

　　【解法2】原式=×16=2 000

　　【分析3】根據積不變的規律簡算.

　　【解法3】原式=（125×8）×（16÷8）

　　=1000×2=2 000.

　　【評注】以上三種解法都是抓住“125×8=1000”的特點，使計算簡便.其中解法2最佳.

　　例12 

（湖南省長沙市東區）

　　【分析1】按分數除法法則進行計算.

　　【解法1】==5

　　【分析2】用分子相除的商作分子，分母相除的商作分母.

　　【解法2】原式=.

　　【評注】以上兩種解法，解法2最簡捷，但這種解法必須是在被除數的分子、分母分別是除數的分子、分母的倍數的情況下，才能使計算簡便.

　　例13

（天津市河北區）

　　【分析1】按四則運算順序進行計算.

　　【解法1】原式=.

　　【分析2】把除法全部轉化為乘法，直接約分計算.

　　【解法2】原式=.

　　【分析3】根據題目中數的特點，合理地運用乘除混合運算的交換性質進行計算.

　　【解法3】原式=

　　　　　　　　=1×1=1

　　【評注】乘除混合的分數式題，一般是把它轉化為連乘的形式，直接約分，最后求出積，如解法2，但還要注意抓數的特點進行計算，如解法3就更為簡捷.

　　例14   [×（2.37+9.2）+7.63×]÷

（湖北省武漢市武昌區）

　　【分析1】按四則混合運算順序計算.

　　【解法1】原式=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=.

　　【分析2】運用乘法分配律，簡化中括號內的運算.

　　【解法2】原式=[×（2.37+7.63+9.2）]÷

　　　　　　　　=[×19.2]÷

　　　　　　　　=16×=9.6

　　【分析3】把“÷”轉化為“×”，再運用乘法分配律，使計算簡便.

　　【解法3】原式=[×（2.37+9.2）+7.63×]×

　　　　　　　　=（2.37+9.2）××+7.63××

　　　　　　　　=（2.37+9.2）×+7.63×

　　　　　　　　=（2.37+7.63+9.2）×

　　（再次運用分配律）

　　　　　　　　=19.2×=9.6.

　　【評注】在四則混合運算中，根據題目中數字的特點，靈活地運用運算定律和性質，這是使四則混合運算簡便的關鍵.以上解法2和解法3都比解法1簡便，其中以解法2為最佳解法.

　　例15  化簡

（河北省青縣）

　　【分析1】根據分數的基本性質，把分子和分母兩部分都乘以這兩部分中分數的所有分母的最小公倍數12，再運用乘法分配律化簡.

　　【解法1】原式=

　　　　　　　　=7.

　　【分析2】根據分數與除法的關系，把繁分數轉化為除法算式，再進行計算.

　　【解法2】原式=

　　　　　　　　=.

　　【分析3】將繁分數的分子和分母兩部分分別進行計算，再根據分數與除法的關系把繁分數轉化為除法進行計算.

　　【解法3】原式==.

　　【評注】化簡繁分數，一般采用解法3的方法進行，但也要注意觀察題目的特點，運用運算定律和性質使計算更簡便.如解法1就是抓住了題目中數字相同、只有運算符號不同的特點，運用分數基本性質和乘法分配律，使計算簡便。

　　例16

（北京市海淀區）

　　【分析1】 把分子和分母兩部分分別進行計算.

　　【解法1】 原式=.

　　【分析2】根據分數與除法的關系，使繁分數轉化為除法，再根據除法運算性質使計算簡便.

　　【解法2】原式=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=

　　【評注】此類題一般采用解法2為好，因為這種方法能最大程度地使分子和分母進行約分，從而使計算簡便.

　　例17 化簡

（天津市和平區）

　　【分析1】按化簡繁分數的一般方法，把分子和分母兩部分分別計算出結果，然后用分子除以分母求出結果.

　　【解法1】原式=

　　【分析2】把分子和分母兩部分中的小數，全部化成分數進行計算.

　　【解法2】原式=

　　　　　　　　=

　　【分析3】根據分數的基本性質，把繁分數的分子和分母兩部分直接約簡.

　　【解法3】原式=

　　【分析4】根據分數基本性質，把繁分數的分子和分母兩部分都擴大10 000倍，使小數全部轉化為整數，然后再進行約分化簡.

　　【解法4】原式=

　　【分析5】運用乘法交換律，使繁分數轉化為另外幾個繁分數的乘積形式，再根據分數基本性質，使各個繁分數轉化為分子和分母都是整數的分數，再進行約分計算.

　　【解法5】原式=

　　　　　　　　=

　　　　　　　　=

　　【分析6】把繁分數轉化為除法，再運用除法的運算性質簡算.

　　【解法6】原式=(3.1×0.04×1.7)÷（0.85×1.4×6.2）

　　=（3.1÷6.2）×（0.04÷1.4）×（1.7÷0.85）

　　=.

　　【評注】以上六種解法中，解法3和解法4是比較簡便的，但解法3在計算過程中容易出現錯誤，原因就是小數太多.解法4把小數轉化為整數，就減小了出錯的可能性，因此，解法4為最佳解法.

　　例18 化簡比2.25∶

（廣東省廣州市越秀區）

　　【分析1】根據比的性質，把比的前項和后項同時擴大8倍，再進行化簡.

　　【解法1】原式=（2.25×8）∶（×8）

　　　　　　　　=18∶3=6∶1

　　【分析2】把2.25轉化為，再按求比值的方法進行化簡.

　　【解法2】原式=÷==6∶1

　　【分析3】把分數化成小數，再根據比的基本性質進行化簡.

　　【解法3】原式=2.25∶0.375=2250∶375

　　　　　　　　=6∶1.

　　【評注】化簡比的方法，一般是運用比的基本性質進行化簡.如果前后項都是分數，一般是運用求比值的方法進行化簡；如果前后項都是小數，或轉化成分數比，或轉化成整數比，再進行化簡.總之要結合實際情況靈活選用方法，怎樣簡便怎樣算.

　　例19 用111的約數組成一個比例是（ ）.

（河南省鄭州市）

　　【分析1】因為111的約數有1、3、37和111，所以本題實際上就是用這四個數做比例的項，組成比例.

　　【解法1】因為1∶37=，3∶111=，根據比例的意義得：1∶37=3∶111.

　　【分析2】由3×37=1×111，根據比例的基本性質求得比例式.

　　【解法2】37∶1=111∶3.

　　【分析3】根據比例的基本性質，將解法1中的比例內項交換位置即得新比例.

　　【解法3】1∶3=37∶111.

　　【分析4】根據比例的基本性質，將解法1中比例的外項交換位置即得新比例.

　　【解法4】111∶37=3∶1.

　　【分析5】根據等式左右兩邊相等的特點，分別把解法1、2、3、4的比例式左右兩邊交換位置，組成新比例.

　　【解法5】3∶111=1∶37；111∶3=37∶1，37∶111= 1∶3；3∶1=111∶37.

　　【評注】組比例一般有兩種方法：一是根據比例的意義組比例，如解法1；二是根據比例的基本性質組比例，如解法2.同時，由一個比例式可轉換成八個比例式，如以上的八個比例式都是一個比例式轉換而來的.

　　例20 把一個減法算式的被減數、減數與差相加，和是180，減數與差的比是1∶2.減數是（ ），差是（ ）.

（湖南省長沙市東區）

　　【分析1】因為“被減數=差+減數”，且減數∶差=1∶2，而被減數+減數+差=180，所以180對應的份數是（1+2）+1+2=6（份）.因此，運用歸一法可先求減數，再求差.

　　【解法1】減數：180÷（1+ 2+ 1+ 2）

　　=180÷6=30

　　差：30×2=60.

　　【分析2】由分析1，再運用按比例分配方法進行解答.

　　【解法2】減數：180×

　　　　　　　　　=180×=30.

　　差：180×

　　　　=180×=60.

　　【分析3】由分析1，運用方程解題.

　　【解法3】設減數為x，則差為2x.

　　（1+2）x+x+2x=180

　　解之得：x=30

　　　　　　2x=2×30=60.

　　【分析4】由分析1可知，180=被減數×2.由此可求出被減數：180÷2=90；又因為減數：差=1∶2，再運用按比例分配方法，可先求減數，再求差.

　　【解法4】減數：180÷2×=30.

　　差：180÷2×=60.

　　【評注】以上四種解法，解法4的分析思路清晰直接，解答方法也最為簡捷，是本題的最佳解法.

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