形和數(shù)的密切關(guān)系，在古代就被人們注意到了.古希臘人發(fā)現(xiàn)的形數(shù)就是非常有趣的例子.
例1 最初的數(shù)和最簡(jiǎn)的圖相對(duì)應(yīng).
這是古希臘人的觀點(diǎn)，他們說(shuō)一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的.
例2 我國(guó)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代就有了“洛圖”(見(jiàn)下圖).圖中也是用“圓點(diǎn)”表示數(shù)，而且還區(qū)分了偶數(shù)和奇數(shù)，偶數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，奇數(shù)用空心點(diǎn)表示.你能把這張圖用自然數(shù)寫出來(lái)嗎?見(jiàn)下圖所示，這個(gè)圖又叫九宮圖.
例3 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“形數(shù)”的奧秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù).因?yàn)橛脠A點(diǎn)按這些數(shù)可以堆壘成三角形，見(jiàn)下圖.
畢達(dá)哥拉斯還從圓點(diǎn)的堆壘規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)三角形數(shù)，都可以寫成從1開(kāi)始的n個(gè)自然數(shù)之和，最大的自然數(shù)就是三角形底邊圓點(diǎn)的個(gè)數(shù).
第一個(gè)數(shù)：1=1
第二個(gè)數(shù)：3=1+2
第三個(gè)數(shù)：6=1+2+3
第四個(gè)數(shù)：10=1+2+3+4
第五個(gè)數(shù)：15=1+2+3+4+5
…
第n個(gè)數(shù)：1+2+3+4+5+…+n
指定的三角形數(shù).比如第100個(gè)三角形數(shù)是：
例4 畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了四角形數(shù)，見(jiàn)下圖.因?yàn)橛脠A點(diǎn)按四角形數(shù)可以堆壘成正方形，因此它們最受
畢達(dá)哥拉斯及其弟子推崇.
第一個(gè)數(shù)：1=12=1
第二個(gè)數(shù)：4=22=1+3
第三個(gè)數(shù)：9=32=1+3+5
第四個(gè)數(shù)：16=42=1+3+5+7
第五個(gè)數(shù)：25=52=1+3+5+7+9
…
第n個(gè)數(shù)：n2=1+3+5+9+…+(2n-1).
四角形數(shù)(又叫正方形數(shù))可以表示成自然數(shù)的平方，也可以表示成從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和.奇數(shù)的個(gè)數(shù)就等于正方形的一條邊上的點(diǎn)數(shù).
例5 類似地，還有四面體數(shù)見(jiàn)下圖.
仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，四面體的每一層的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)都是三角形數(shù).因此四面體數(shù)可由幾個(gè)三角形數(shù)相加得到：
第一個(gè)數(shù)：1
第二個(gè)數(shù)：4=1+3
第三個(gè)數(shù)：10=1+3+6
第四個(gè)數(shù)：20=1+3+6+10
第五個(gè)數(shù)：35=1+3+6+10+15.
例6 五面體數(shù)，見(jiàn)下圖.
仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，五面體的每一層的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)都是四角形數(shù)，因此五面體數(shù)可由幾個(gè)四角形數(shù)相加得到：
第一個(gè)數(shù)：1=1
第二個(gè)數(shù)：5=1+4
第三個(gè)數(shù)：14=1+4+9
第四個(gè)數(shù)：30=1+4+9+16
第五個(gè)數(shù)：55=1+4+9+16+25.
例7 按不同的方法對(duì)圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，可以得出一系列等式，進(jìn)而可猜想到一個(gè)重要的公式.
由此可以使人體會(huì)到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙關(guān)系.
方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：
22+2×2+1.
方法2：把點(diǎn)圖看作一個(gè)整體來(lái)算32.
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
22+2×2+1=32.
方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：
32+2×3+1.
方法2：把點(diǎn)圖看成一個(gè)整體來(lái)算：42.
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
32+2×3+1=42.
方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：
42+2×4+1.
方法2：把點(diǎn)圖看成一個(gè)整體來(lái)算52.
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
42+2×4+1=52.
把上面的幾個(gè)等式連起來(lái)看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可以猜到一個(gè)一般的公式：
22+2×2+1=32
33+2×3+1=42
42+2×4+1=52
…
n2+2×n+1=(n+1)2.
利用這個(gè)公式，也可用于速算與巧算.
如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100
992+2×99+1=(99+1)2
=1002=10000.
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