例1 小兵和小軍用玩具槍做打靶游戲，見下圖所示.他們每人打了兩發子彈.小兵共打中6環，小軍共打中5環.又知沒有哪兩發子彈打到同一環帶內，并且彈無虛發.你知道他倆打中的都是哪幾環嗎?
解：已知小兵兩發子彈打中6環，要求每次打中的環數，可將6分拆6=1+5=2+4;同理，要求小軍每次打中的環數，可將5分拆5=1+4=2+3.
由題意：沒有哪兩發子彈打到同一環帶內并且彈無虛發，只可能是：
小兵打中的是1環和5環，小軍打中的是2環和3環.
例2 某個外星人來到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買7分錢的一件商品，他應如何付款?買9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又將如何付款?
解：這道題目的實質是要求把7、9、10、13、14、15各數按1、2、4、8進行分拆.
7=1+2+4
9=1+8
10=2+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=1+2+4+8
外星人可按以上方式付款.
例3 有人以為8是個吉利數字，他們得到的東西的數量都能要夠用“8”表示才好.現有200塊糖要分發給一些人，請你幫助想一個吉利的分糖方案.
解：可以這樣想：因為200的個位數是0，又知只有5個8相加才能使和的個位數字為0，這就是說，可以把200分成5個數，每個數的個位數字都應是8.
這樣由8×5=40及200-40=160，
可知再由兩個8作十位數字可得80×2=160即可.
最后得到下式：88+88+8+8+8=200.
例4 試將100以內的完全平方數分拆成從1開始的一串奇數之和.
解：1=1×1=12=1(特例)
4=2×2=22=1+3
9=3×3=32=1+3+5
16=4×4=42=1+3+5+7
25=5×5=52=1+3+5+7+9
36=6×6=62=1+3+5+7+9+11
49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13
64=8×8=82
=1+3+5+7+9+11+13+15
81=9×9=92
=1+3+5+7+9+11+13+15+17
100=10×10=102
=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
觀察上述各式，可得出如下猜想：
一個完全平方數可以寫成從1開始的若干連續奇數之和，這個平方數就等于奇數個數的自乘積(平方).
檢驗：把11×11=121，和12×12=144，兩個完全平方數分拆，看其是否符合上述猜想.
121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
結論:上述猜想對121和144兩個完全平方數是正確的.
例5 從1～9九個數中選取，將11寫成兩個不同的自然數之和，有多少種不同的寫法?
解：將1～9的九個自然數從小到大排成一列：
1，2，3，4，5，6，7，8，9.
分析 先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求.
但用次大的2和最大的9相加，和為11符合要求，得11=2+9.
逐個做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.
可見共有4種不同的寫法.
例6 將12分拆成三個不同的自然數相加之和，共有多少種不同的分拆方式，請把它們一一列出.
解：可以做如下考慮：若將12分拆成三個不同的自然數之和，三個數中最小的數應為1，其次是2，那么第三個數就應是9得：12=1+2+9.
下面進行變化，如從9中取1加到2上，
又得12=1+3+8.
繼續按類似方法變化，可得下列各式：
12=1+4+7=2+3+7，
12=1+5+6=2+4+6.
12=3+4+5.
共有7種不同的分拆方式.
例7 將21分拆成四個不同的自然數相加之和，但四個自然數只能從1～9中選取，問共有多少種不同的分拆方式，請你一一列出.
解：也可以先從最大的數9考慮選取，其次選8，算一算21-(9+8)=4，所以接著只能選3和1.這樣就可以得出第一個分拆式：21=9+8+3+1，
以這個分拆式為基礎按順序進行調整，就可以得出所有的不同分拆方式：
21=7+6+5+3}以7開頭的分拆方式有1種
∴ 共有11種不同的分拆方式.
例8 從1～12這十二個自然數中選取，把26分拆成四個不同的自然數之和.
26=8+7+6+5}以8開頭的分拆方式共1種不同的分拆方式總數為：
10+10+8+4+1=33種.
總結：由例4明顯看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必須使分拆過程按一定的順序進行.
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