觀察、搜集已知事實，從中發現具有規律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動的主要內容.
數學上有很多材料可用以來模擬這種活動、培養學生這方面的能力.
例1 觀察數列的前面幾項，找出規律，寫出該數列的第100項來?
12345，23451，34512，45123，…
解：為了尋找規律，再多寫出幾項出來，并給以編號：
仔細觀察，可發現該數列的第6項同第1項，第7項同第2項，第8項同第3項，…也就是說該數列各項的出現具有周期性，他們是循環出現的，一個循環節包含5項.
100÷5=20.
可見第100項與第5項、第10項一樣(項數都能被5整除)，即第100項是51234.
例2 把寫上1到100這100個號碼的牌子，像下面那樣依次分發給四個人，你知道第73號牌子會落到誰的手里?
解：仔細觀察，你會發現：
分給小明的牌子號碼是1，5，9，13，…，號碼除以4余1;
分給小英的牌子號碼是2，6，10，14，…，號碼除以4余2;
分給小方的牌子號碼是3，7，11，…，號碼除以4余3;
分給小軍的牌子號碼是4，8，12，…，號碼除以4余0(整除).
因此，試用4除73看看余幾?
73÷4=18…余 1
可見73號牌會落到小明的手里.
這就是運用了如下的規律：
用這種規律預測第幾號牌子發給誰，是很容易的，請同學們自己再試一試.
例3 四個小動物換位，開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號位子上(如下圖所示).第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換.這樣一直交換下去，問十次換位后，小兔坐在第幾號座位上?
解：為了能找出變化規律，再接著寫出幾次換位情況，見下圖.
盯住小兔的位置進行觀察：
第一次換位后，它到了第1號位;
第二次換位后，它到了第2號位;
第三次換位后，它到了第4號位;
第四次換位后，它到了第3號位;
第五次換位后，它又到了第1號位;
…
可以發現，每經過四次換位后，小兔又回到了原來的位置，利用這個規律以及10÷4=2…余2，可知：
第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號位.
如果再仔細地把換位圖連續起來研究研究，可以發現，隨著一次次地交換，
小兔的座位按順時針旋轉，
小鼠的座位按逆時針旋轉，
小猴的座位按順時針旋轉，
小貓的座位按逆時針旋轉，
按這個規律也可以預測任何小動物在交換幾次后的座位.
例4 從1開始，每隔兩個數寫出一個數，得到一列數，求這列數的第100個數是多少?
1，4，7，10，13，…
解：不難看出，這是一個等差數列，它的后一項都比相鄰的前一項大3，即公差=3，還可以發現：
第2項等于第1項加1個公差即
4=1+1×3.
第3項等于第1項加2個公差即
7=1+2×3.
第4項等于第1項加3個公差即
10=1+3×3.
第5項等于第1項加4個公差即
13=1+4×3.
…
可見第n項等于第1項加(n-1)個公差，即
按這個規律，可求出：
第100項=1+(100-1)×3=1+99×3=298.
例5 畫圖游戲先畫第一代，一個△，再畫第二代，在△下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個△，在另一條的末端畫一個○;畫第三代，在第二代的△下面又畫出兩條線段，一條末端畫△，另一條末端畫○;而在第二代的○的下面畫一條線，線的末端再畫一個△;…一直照此畫下去(見下圖)，問第十次的△和○共有多少個?
解：按著畫圖規則繼續畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規律，見下圖.
數一數，各代的圖形(包括△和○)的個數列成下表：
可以發現各代圖形個數組成一個數列，這個數列的生成規律是，從第三項起每一項都是前面兩項之和.按此規律接著把數列寫下去，可得出第十代的△和○共有89個(見下表)：
這就是著名的裴波那契數列.裴波那契是意大利的數學家，他生活在距今大約七百多年以前的時代.
例6 如下圖所示，5個大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構成了一座圓盤塔.現在要把這座圓盤塔移到另一個木樁上.規定移動時要遵守一個條件，每搬一次只許拿一個圓盤而且任何時候大圓盤都不能壓住小圓盤.假如還有第三個木樁可作臨時存放圓盤之用.問把這5個圓盤全部移到另一個木樁上至少需要搬動多少次?(下圖所示)
解：先從最簡單情形試起.
①當僅有一個圓盤時，顯然只需搬動一次(見下頁圖).
②當有兩個圓盤時，只需搬動3次(見下圖).
③當有三個圓盤時，需要搬動7次(見下頁圖).
總結，找規律：
①當僅有一個圓盤時，只需搬1次.
②當有兩個圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時樁上，等大圓盤搬到中間樁后，小圓盤還得再搬回來到大圓盤上.所以小的要搬兩次，下面的大盤要搬1次.這樣搬到兩個圓盤需3次.
③當有三個圓盤時，必須先要把上面的兩個小的圓盤搬到臨時樁上，見上圖中的(1)～(3).由前面可知，這需要搬動3次.然后把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上，見圖(4)，之后再把上面的兩個搬到中間樁上，這又需搬3次，見圖中(5)～(7).
所以共搬動2×3+1=7次.
④推論，當有4個圓盤時，就需要先把上面的3個圓盤搬到臨時樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤搬到中間樁上(1次)，之后再把臨時樁上的3個圓盤搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動2×7+1=15次.
⑤可見當有5個圓盤時，要把它按規定搬到中間樁上去共需要：
2×15+1=31次.
這樣也可以寫出一個一般的公式(叫遞推公式)
對于有更多圓盤的情況可由這個公式算出來.
進一步進行考察，并聯想到另一個數列：
若把n個圓盤搬動的次數寫成an，把兩個表對照后，
可得出
有了這個公式后直接把圓盤數代入計算就行了，不必再像前一個公式那樣進行遞推了.
