在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計(jì)算，這樣，對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象，通過(guò)找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)系，即列出方程（或方程組），使問(wèn)題得以解決。所以對(duì)于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。
列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方程，解方程，檢驗(yàn)作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量或等量用兩種方式表達(dá)出來(lái)，而要建立這種相等關(guān)系必須對(duì)題目作細(xì)致分析，有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析。
一、列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題
10x+1，從而有
3（105+x）=10x+1，
7x＝299999，
x＝42857。
答：這個(gè)六位數(shù)為142857。
說(shuō)明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：
示出來(lái)，這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。
（1）是善于分析問(wèn)題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；（2）是一般語(yǔ)言與數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。
例2 有一隊(duì)伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問(wèn)：隊(duì)伍有多長(zhǎng)？
分析：這是一道“追及又相遇”的問(wèn)題，通訊員從末尾到排頭是追及問(wèn)題，他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長(zhǎng)；通訊員從排頭返回排尾是相遇問(wèn)題，他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長(zhǎng)。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。
解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得
2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得x＝500。推知隊(duì)伍長(zhǎng)為
（2.6-1.4）×500=600（米）。
答：隊(duì)伍長(zhǎng)為600米。
說(shuō)明：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí)，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對(duì)于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。
例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時(shí)，騎車人速度為10.8千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過(guò)來(lái)，火車通過(guò)行人用22秒，通過(guò)騎車人用26秒，這列火車的車身總長(zhǎng)是多少？
分析：本題屬于追及問(wèn)題，行人的速度為3.6千米/時(shí)=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時(shí)=3米/秒。火車的車身長(zhǎng)度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長(zhǎng)度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。
解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得
（x-1）×22=（x-3）×26。
解得x=14。所以火車的車身長(zhǎng)為
（14-1）×22=286（米）。
答：這列火車的車身總長(zhǎng)為286米。
例4 如圖，沿著邊長(zhǎng)為90米的正方形，按逆時(shí)針?lè)较颍讖?/font>A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的哪一條邊上？
分析：這是環(huán)形追及問(wèn)題，這類問(wèn)題可以先看成“直線”追及問(wèn)題，求出乙追上甲所需要的時(shí)間，再回到“環(huán)行”追及問(wèn)題，根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。
解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了x分。依題意，甲在乙前方
3×90=270（米），
故有
72x＝65x+270。
由于正方形邊長(zhǎng)為90米，共四條邊，故由
可以推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。
答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的DA邊上。
例5 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅梢抑良资悄嫠旭偂Ｒ阎陟o水中的速度為8千米/時(shí)，平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來(lái)的2倍，這條船往返共用9時(shí)。問(wèn)：甲、乙兩港相距多少千米？
分析：這是流水中的行程問(wèn)題：
順?biāo)俣?/font>=靜水速度+水流速度，
逆水速度=靜水速度-水流速度。
解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。
解：設(shè)甲、乙兩港相距x千米，原來(lái)水流速度為a千米/時(shí)根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹?/font>2∶1，即
（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，
再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?/font>2a千米/時(shí)，則有
解得x=20。
答：甲、乙兩港相距20千米。
例6 某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時(shí)才能出發(fā)，為了趕火車，6時(shí)55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時(shí)，學(xué)校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時(shí)間來(lái)不及，只能乘車與步行同時(shí)進(jìn)行。如果步行每小時(shí)能走4千米，那么應(yīng)如何安排，才能使所有人都按時(shí)趕到火車站？
趕到火車站，每人步行時(shí)間應(yīng)該相同，乘車時(shí)間也相同。設(shè)每人步行x時(shí)，
客車能否在115分鐘完成。
解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千米/時(shí)，汽車速度為
解得x＝1.5（時(shí)），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時(shí)同時(shí)出發(fā)，第一批人乘25分鐘車到達(dá)A點(diǎn)，下車步行；客車從A立即返回，在B點(diǎn)遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點(diǎn)遇到步行而來(lái)的第三批人，然后把他們直接送到火車站。
如此安排第一、二批人按時(shí)到火車站是沒問(wèn)題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢？必須計(jì)算。
因此可以按上述方法安排。
說(shuō)明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗(yàn)算不能省掉，因?yàn)檫@關(guān)系到第三批人是否可以按時(shí)到車站的問(wèn)題。通過(guò)計(jì)算知第三批人正巧可乘車25分，按時(shí)到達(dá)。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時(shí)到達(dá)目的地。
二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題
對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語(yǔ)言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語(yǔ)言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。
例7 某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過(guò)此人。如果人與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？
分析：此題看起來(lái)似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來(lái)的車相遇，是相遇問(wèn)題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過(guò)此人是追及問(wèn)題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù)，問(wèn)題就解決了。
解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得
由①②，得
將③代入①，得
說(shuō)明：此題引入v1，v2兩個(gè)未知量作參數(shù)，計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去，即問(wèn)題的答案與參數(shù)的選擇無(wú)關(guān)。本題的解法很多，可參考本叢書《五年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)課》第26講。
例8 整片牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內(nèi)把牧場(chǎng)的草吃完，那么有多少頭牛？
分析：本題中牧場(chǎng)原有草量是多少？每天能生長(zhǎng)草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個(gè)量用參數(shù)a，b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x，則可列出三個(gè)方程。若能消去a，b，c，便可解決問(wèn)題。
解：設(shè)整片牧場(chǎng)的原有草量為a，每天生長(zhǎng)的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內(nèi)能把牧場(chǎng)上的草吃完，則有
②-①，得
36b=120C。 ④
③-②，得
96xc=1800c＋36b。 ⑤
將④代入⑤，得
96xc＝1800c+120c。
解得x=20。
答：有20頭牛。
例9 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米。車從甲地開往乙從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？
解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得
①＋②，得
將y=210－x代入①式，得
解得x＝140。
答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。
三、列不定方程解應(yīng)用題
有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時(shí)方程的解有多個(gè)，即解不是唯一確定的。但注意到題目對(duì)解的要求，有時(shí)，只需要其中一些或個(gè)別解。
例10 六（1）班舉行一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，采用5級(jí)計(jì)分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績(jī)?yōu)?/font>4分，女生的平均成績(jī)?yōu)?/font>3.25分，而全班的平均成績(jī)?yōu)?/font>3.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測(cè)驗(yàn)？
解：設(shè)該班有x個(gè)男生和y個(gè)女生，于是有
4x+3.25y=3.6（x+y），
化簡(jiǎn)后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生
在大于30小于50的自然數(shù)中，只有45可被15整除，所以
推知x＝21，y=24。
答：該班有21個(gè)男生和24個(gè)女生。
例11 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問(wèn)：小明至多套中小雞幾次？
解：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據(jù)得61分可列方程
9x+5y+2（10-x-y）=61，
化簡(jiǎn)后得7x=41－3y。
顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無(wú)整數(shù)解；若y=2，7x=35，解得x=5。
答：小明至多套中小雞5次。
例12 某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個(gè)小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問(wèn)：7天中這4個(gè)小組最多可縫制多少套衣服？
分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來(lái)安排生產(chǎn)，應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產(chǎn)。
我們首先要說(shuō)明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數(shù)最多。
一般情況，設(shè)A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這
的效率高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。
設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x天，生產(chǎn)褲子（7-x）天，乙組生產(chǎn)上衣y天，生產(chǎn)褲子（7-y）天，則4個(gè)組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（條）。依題意，得
42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，
令u＝42＋8x＋9y，則
顯然x越大，u越大。故當(dāng)x=7時(shí)，u取最大值125，此時(shí)y的值為3。
答：安排甲、丁組7天都生產(chǎn)上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多，共計(jì)125套。
說(shuō)明：本題仍為兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，不能有確定解。本題求套數(shù)最多，實(shí)質(zhì)上是化為“一元函數(shù)”在一定范圍內(nèi)的最值，注意說(shuō)明取得最值的理由。
