比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ).有了“比”這個概念和表達方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對“除法、分?jǐn)?shù)、比例實質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.
這一講分三個內(nèi)容：
一、比和比的分配；
二、倍數(shù)的變化；
三、有比例關(guān)系的其他問題.
一、比和比的分配
最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.
例1 甲、乙兩個長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是3∶2，乙的長與寬之比是7∶5.求甲與乙的面積之比.
解：設(shè)甲的周長是2.
甲與乙的面積之比是
答：甲與乙的面積之比是864∶875.
作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù).
例2 如右圖，ABCD是一個梯形，E是AD的中點，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是10∶7.
求上底AB與下底CD的長度之比.
解：因為E是中點，三角形CDE與三角形CEA面積相等.
三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比AB∶CD=三角形ABC的面積∶三角形ADC的面積
=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
答：AB∶CD=3∶14.
兩數(shù)之比，可以看作一個分?jǐn)?shù)，處理時與分?jǐn)?shù)計算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點.
例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.
解：大杯與中杯容量之比是5∶2=10∶4，
中杯與小杯容量之比是4∶3，
大杯、中杯與小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
=44∶75.
答：兩者容量之比是44∶75.
把5∶2與4∶3這兩個比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比10∶4∶3，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個更一般的例子.
甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
花了多少錢？
解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，
連比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.
答：甲、乙、丙三人共花了429元.
例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙
，而它們留在墻外的部分一樣長.問：甲、乙、丙的長度之比是多少？
解：設(shè)甲的長度是6份.
∶x=5∶4.
乙與丙的長度之比是
而甲與乙的長度之比是 6∶5=30∶25.
甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
答：甲、乙、丙的長度之比是30∶25∶26.
于利用已知條件6∶5，使大部分計算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問題的常用手段.
例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？
解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價是
答：這些糖果每千克平均價是27.5元.
上面解法中，算式很容易列出，但計算卻使人感到不易.最好的計算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：
事實上，有稍簡捷的解題思路.
解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.
不妨設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.
單價33元的可買10份，要買12份，單價是
下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當(dāng)一個數(shù)量被分成若干個數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.
例7 一個分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，
解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比2∶3.因此
例8 加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個？所需時間是多少？
解：三人同時加工，并且同一時間完成任務(wù)，所用時間最少，要同時完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.
三人工作效率之比是
他們分別需要完成的工作量是
所需時間是
700×3=2100分鐘）=35小時 .
答：甲、乙、丙分別完成700個，600個，525個零件，需要35小時.
這是三個數(shù)量按比例分配的典型例題.
例9 某團體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是14∶11，會員分成三個組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會員與女會員人數(shù)之比是：
甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
那么丙有多少名男會員？
解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.
乙、丙兩組男會員人數(shù)是 56-24=32 （人）.
答：丙組有12名男會員.
上面解題的最后一段，實質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔
例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是1∶2∶3.小龍走各段路程所用時間之比依次是4∶5∶6.已知他上坡時速度為每小時3千米，路程全長50千米.問小龍走完全程用了多少時間？
解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
上坡、平路、下坡的速度之比是
走完全程所用時間
答：小龍走完全程用了10小時25分.
上面是通常思路下解題.1∶2∶3計算中用了兩次，似乎重復(fù)計算，最后算式也頗費事.事實上，靈活運用比例有簡捷解法.
解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時
設(shè)小龍走完全程用x小時.可列出比例式
二、比的變化
已知兩個數(shù)量的比，當(dāng)這兩個數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.
例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5∶7.甲、乙原來各得多少分？
解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來算.
5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來
甲得22.5÷5×20=90（分），
乙得 22.5÷5×16=72（分）.
答：原來甲得90分，乙得72分.
我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.
解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.
（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
15x=12×22.5
x=18.
甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.
解：其他球的數(shù)量沒有改變.
增加8個紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是
5∶（14-5）=5∶9.
在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是
1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
因此8個紅球是5-4.5=0.5（份）.
現(xiàn)在總球數(shù)是
答：現(xiàn)在共有球224個.
本題的特點是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變.把1∶2寫成4.5∶9，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解：
（x+8）∶2x=5∶9.
例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是8∶5，開支的錢數(shù)之比是8∶3，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？
解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.
如果他們開支的錢數(shù)之比也是8∶5，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是8∶5.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有
240∶x=8∶5，x=150（元）.
實際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出
答：張家收入720元，李家收入450元.
解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.
我們畫出一個示意圖：
張家開支的3倍是（8份-240）×3.
李家開支的8倍是（5份-270）×8.
從圖上可以看出
5×8-8×3=16份，相當(dāng)于
270×8-240×3=1440（元）.
因此每份是1440÷16=90（元）.
張家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.
本題也可以列出比例式：
（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.
然后求出x.事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.
例14 A和B兩個數(shù)的比是8∶5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).
解：減少相同的數(shù)34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用這一點.
8∶5，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1.將前項與后項都乘以3，即2∶1=6∶3，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.
A數(shù)是17×8=136，B數(shù)是17×5=85.
答：A，B兩數(shù)分別是136與85.
本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的2∶1，改寫成8∶4.
例15 小明和小強原有的圖畫紙之比是4∶3，小明又買來15張.小強用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是5∶2.問原來兩人各有多少張圖畫紙？
解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.
4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，
新的1份=原來1份+1
原來4份，新的5份，5-4=1，因此
新的1份有15-1×4=11（張）.
小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），
小強原有圖畫紙11×2+8=30（張）.
答：原來小明有40張，小強有30張圖畫紙.
解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數(shù)（實際上就是通分）
4∶3=20∶15
5∶2=20∶8.
但現(xiàn)在是20∶8，因此這個比的每一份是
當(dāng)然，也可以采用實質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.
解三：設(shè)原來小明有4“份”，小強有3“份”圖畫紙.
把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2，小強現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：
從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當(dāng)于圖畫紙15×2+8×5=70（張）.
因此每份是10張，原來小明有40張，小強有30張.
例11至15這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運算，對小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維.
例16 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點5小時，細蠟燭可以點4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點了多少時間？
我們把問題改變一下：設(shè)細蠟燭長度是2，每小時點
等需要時間是
答：這兩支蠟燭點了3小時20分.
把細蠟燭的長度和每小時燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個稍復(fù)雜的例子.
例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？
解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只.
因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后應(yīng)剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.
紅球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.
白球有 7×7＋3＝52（只）.
原來紅球比白球多 158-52＝106（只）.
答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.
三、比例的其他問題
，這里必須用分?jǐn)?shù)來說，而不能用比.實際上它還是隱含著比例關(guān)系：
（甲-7）∶乙= 2∶3.
因此，有些分?jǐn)?shù)問題，就是比例問題.
加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？
答：這些畫片有261張.
解：設(shè)最初的水量是1，因此最后剩下的水是
樣重，就有
因此原有水的重量是
答：容器中原來有8.4千克水.
例18和例19，通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.“比”有前項和后項，當(dāng)兩項合在一起寫成一個分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進行加、減運算.這就是把比（或除法）寫成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫成比，計算就方便些.
例20 有兩堆棋子， A堆有黑子 350個和白子500個， B堆有黑子
堆中拿到 A堆黑子、白子各多少個？
子100個，使余下黑子與白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持3∶1的比.
現(xiàn)在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450個），與已有白子500個，相差
從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個，又要符合3∶1這個比，要拿出白子數(shù)是
50÷（3-1）＝25（個）.
再要拿出黑子數(shù)是 25×3＝ 75（個）.
答：從B堆拿出黑子 175個，白子25個.
人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？
解一：先畫出如下示意圖：
6-5＝1，相當(dāng)于圖中相差 17-12＝5（份），初中總?cè)藬?shù)是 5×6＝30份，因此，每份人數(shù)是
520÷（30-17）= 40（人）.
因此，高、初中畢業(yè)生共有
40×（17＋12）＝ 1160（人）.
答：高、初中畢業(yè)生共1160人.
計算出每份是
例21與例14是完全一樣的問題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？）解二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計算不如解一簡便.
例18，19，20，21四個例題說明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān)鍵還是在于靈活運用.
下的錢共有多少元？
解：設(shè)鋼筆的價格是1.
這樣就可以求出，鋼筆價格是
張剩下的錢數(shù)是
李剩下的錢數(shù)
答：張、李兩人剩下的錢共28元.
題中有三個分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計算單位，設(shè)定鋼筆的價格為1.每個人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計算單位是常用的解題技巧.
作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個例題，介紹一下“混合比”.
用100個銀幣買了100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？
這是十八世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（1707～1783）提出的問題.
們設(shè)1頭豬和5頭綿羊為A組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使
（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，
或簡寫成 6A＋5B＝100.
就恰好符合均價是1.
類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的約數(shù)，符合要求.
A＝5，豬 5頭，綿羊 25頭，
B=4，山羊12頭，綿羊8頭.
豬∶山羊∶綿羊=5∶12∶（25＋8）.
現(xiàn)在已把1∶5和3∶2兩種比，組合在一起通常稱為混合比.
要注意，這樣的問題常常有多種解答.
A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能產(chǎn)生解答，相應(yīng)的豬、山羊、綿羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
答：有三組解答.買豬、山羊、綿羊的頭數(shù)是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
求混合比是一種很實用的方法，對數(shù)學(xué)有興趣的小學(xué)同學(xué)，學(xué)會這種方法是有好處的，會增加靈活運用比例的技巧.
通常求混合比可列下表：
下面例題與例23是同一類型，但由于題目的條件，解法上稍有變化.
例24 某商品76件，出售給33位顧客，每位顧客最多買三件，買 1件按定價，買2件降價 10％，買 3件降價 20％.最后結(jié)算，平均每件恰好按原定價的 85％出售，那么買3件的顧客有多少人？
解：題目已給出平均數(shù) 85％，可作比較的基準(zhǔn).
1人買3件少 5％×3；
1人買2件多 5％×2；
1人買1件多 15％ ×1.
1人買3件與1人買1件成A組，即按1∶1比例，2人買3件與3人買2件成B組，即按2∶3的比例.
A組是2人買4件，每人平均買2件.
B組是5人買12件，每人平均買2.4件.
現(xiàn)在已建立了一個雞兔同籠型問題：總腳數(shù)76，總頭數(shù)33，兔腳數(shù)2.4，雞腳數(shù)2.
B組人數(shù)是
（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），
A組人數(shù)是 33-25＝8（人），其中買 3件4人，買 1件4人.
10＋ 4＝ 14（人）.
答：買3件的顧客有14位.
建立兩種比的A組和B組，與例23的解題思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因為對A組和B組，不僅要從人數(shù)考慮滿足2A+5B＝33，還要從買的件數(shù)考慮滿足 4A＋12B＝76.這已完全確定了A組和B組的數(shù)，不必再求混合比.
