1、有一把長為9厘米的直尺，你能否在上面只標出3條刻度線，使得用這把直尺可以量出從1至9厘米中任意整數厘米的長度？

　　分析：可以。（1）標3條刻度線，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整數），那么，A，B，C，9這4個數中，大減小兩兩之差，至多有6個：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上這4個數本身，至多有10個不同的數，有可能得到1到9這9個不同的數。（2）例如刻在1，2，6厘米處，由1，2，6，9這4個數，以及任意2個的差，能夠得到從1到9之間的所有整數：1，2，9-6=3，6-2=4，6-1=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，還可以標出1，4，7這3個刻度線：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。另外，與1，2，6對稱的，標出3，7，8；與1，4，7對稱的，標出2，5，8也是可以的。

　　2、一個三位數，如果它的每一位數字都不超過另一個三位數對應數位上的數字，那么就稱它被后下個三位數“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何數都可以被與它相同的數吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。現請你設計6個三位數，它們當中任何一個都不能被其它5個數吃掉，并且它們的百位數字只允許取1，2，3，4。問這6個三位數分別是多少？

　　分析：6個三位數都不能互吃，那么其中任意兩個數，都不能同時有2個數位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能讓3個數百位是1，另外3個數百位數是2。百位是1的3個數，分別配上十位1，2，3；百位是2的3個數同樣。這樣先保證前兩位沒有完全一樣的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，個位應取取最大的，4，它要求另外5個數個位均小于4。114　　　12*較小，個位應取3，它要求前兩位能吃12*的數，個位小于3。123　　　13*個位取2，就不能吃前兩數，同時它要求前兩位能吃13*的數個位小于2。132　　21*較小，個位應取3，才能不被23*和22*吃。213　　22*個位取2即可。222　　23*各位必須取1。231　　所以這6個數是114，123，132，213，222，231。

　　3、盒子里放著紅、黃、綠3種顏色的鉛筆，并且規格也有3種：短的、中的和長的。已知盒子的鉛筆，3種顏色和3種規格都齊全。問是否一定能從中選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規格上各不相同？

　　分析：如果能選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規格上各不相同，則這3支筆必須包含紅、黃、綠，短、中、長這6個因子，即不能有重復因子出現。但是這種情況并不能保證出現。例如，盒子中有4種筆：紅短，黃短，綠中，綠長，3種顏色和3種規格都齊全，由于紅和黃只出現1次，必須選，但是這時短已經出現2次，必然無法滿足3支筆6個因子的要求。所以，不一定能選出。

　　4、一個立方體的12條棱分別被染成白色和紅色，每個面上至少要有一條邊是白色的，那么最少有多少條邊是白色的？

　　分析：立方體的12條棱位于它的6個面上，每條棱都是兩個相鄰面的公用邊，因此至少有3條邊是白色的，就能保證每個面上至少有一條邊是白色。如圖就是一種。

　　5、國際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個4×4的棋盤至少要放幾個皇后？

　　分析：2×2棋盤，1個皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×3棋盤，1個皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盤，中心在交點上，1個皇后不能控制兩條對角線，還需要1個皇后放在拐角處控制邊上的格。所以至少要放2個皇后。如圖所示。

　　6、在如圖10-1所示表格第二行的每個空格內，填入一個整數，使它恰好表示它上面的那個數字在第二行中出現的次數，那么第二行中的5個數字各是幾？
 

　　分析：設第二行從左到右填入A，B，C，D，E，則A+B+C+D+E=5 若E大于0，如E=1，則B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，A大于0小于4； 若D大于0，如D=1，則B大于0，因A大于0，則A和C無法填寫，所以D=0，A必等于2； A=2，可知B+C=3，只有當B=1，C=2時，ABCDE=21200，符合要求。 所以第二行的5個數字是2，1，2，0，0。

　　7、在100個人之間，消息的傳遞是通過電話進行的，當甲與乙兩個人通話時，甲把他當時所知道的信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴甲。請你設計一種方案，使得只需打電話196次，就可以使得每個人都知道其他所有人的信息。

　　分析：給100個人分別編號1-100，他們知道的消息也編上相同的號碼。 （1）2-50號每人給1號打1次電話，共49次，1，50號得到1-50號消息。同時，52-100號每人給51號打1次電話，共49次，51，100號得到51-100號消息。 （2）1號和51號通1次電話，50號和100號通1次電話，這時1，50，51，100號這4個人都知道了1-100號消息。 （3）2-49號，52-99號，每人與1號（或者50，51，100號中的任意1人）通1次話，這96人也全知道了1-100號消息。 這個方案打電話次數一共是（49+49）+2+96=196（次）。

　　8、有一張8×8的方格紙，每個方格都涂上紅、藍兩色之一。能否適當涂色，使得每個3×4小長方形（不論橫豎）的12個方格中都恰有4個紅格和8個藍格？

　　分析：能。3×4=12，有4紅8藍，即紅1藍2，橫豎方向都按這個規律染成下圖的樣子。

　　9、桌上放有1993枚硬幣，第一次翻動1993枚，第二次翻動其中的1992枚，第三次翻動其中的1991枚，……，依此類推，第1993次翻動其中的一枚。能否恰當地選擇每次翻動的硬幣，使得最后所有的硬幣原先朝下的一面都朝上？

　　分析：可以。 按要求一共翻動1+2+3+……+1993=1993×997，平均每個硬幣翻997次，是奇數。而每個硬幣翻奇數次，結果都是把原來朝下的一面翻上來。因為：1993×997=1993+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996） 所以，可以這樣翻動： 第1次翻1993個，每個全翻1次； 第2次與第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每個翻了一遍； 第3次與第1992次（倒數第2次），第4次與第1991次，……，第997次與第998次也一樣，都可以把每個硬幣全翻1次。這樣每個都翻動了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。

　　10、能否在5×5方格表的各個小方格內分別填入數1，2，……，24，25，使得從每行中都可以選擇若干個數，這些數的和等于該行中其余各數之和？

　　分析：不能。

　　假設可以使每行中都可以選擇若干個數，這些數的和等于該行中其余各數之和，那么每行數的和一定為偶數，5行之和也必定為偶數。1+2+3+……+25的和是奇數，不符合要求，假設的情況不能出現。

　　11、把圖10-2中的圓圈任意涂上紅色或藍色。問：能否使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數？

　　分析：不能。 假設每條直線上的紅圈數都是奇數，五角形有五條邊，奇數之和是奇數，則五條線上的紅圈，包括重復，共有奇數個。另一方面，每個圈為兩線交點，每個圓圈算了兩次，總個數為偶數。兩者矛盾，假設不成立。所以，不能使同一條直線上的紅圈數都是奇數。

　　12、在99枚外觀相同的硬幣中，要找出其中的某些偽幣。已知每枚偽幣與真幣的重均相差奇數克，而所給硬幣的總重量恰等于99枚真幣的重量。今有能標明兩盤重量之差的天平，證明：只要稱一次即可辨別出預先選擇的一枚硬幣是否偽幣。

　　分析：已知每枚偽幣與真幣的重均相差奇數克，99個硬幣總重量恰等于99枚真幣的重量，說明偽幣數為偶數。 如果拿出1個真幣，剩下的98個里還是有偶數個偽幣，隨便分成兩部分放天平上，重量之差必為偶數。 如果拿出1個偽幣，剩下的98個里是有奇數個偽幣，隨便分成兩部分放天平上，重量之差必為奇數。
所以，只要把98個硬幣分兩部分在天平上稱，顯示出的重量差只要是奇數，拿出來的那個一定是偽幣。

　　13、在象棋比賽中，勝者得1分；敗者扣1分；若為平局，則雙方各得0分。今有若干名學生進行比賽，每兩個人之間都賽一局。現知，其中一個學生共得7分，另一個學生共得20分。試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。

　　分析：設7分者勝X局，負Y局；20分者勝M局，負N局，則有X-Y=7，M-N=20 假設沒有1次平局，那么由于比賽局數相同，得到：X+Y=M+N，X+Y+M+N為偶數。 另一方面，因為X-Y=7，X和Y兩個數奇偶性不同，兩者之和為奇數；又因為M-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M+N為偶數。得出的結果是：X+Y+M+N之和為奇數。
矛盾。說明沒有平局的假設不成立。所以，比賽過程中至少有一次平局。

　　14、如圖10-3，在3×3的方格表中已經填入了9個整數。如果將表中同一行同一列的3個數加上相同的整數稱為一次操作。問：你能否通過若干次操作使得表中9個數都變為相同的數？

　　分析：不能。 如果進行操作后，表中9個數能變為相同的數，其和必能整除3；因為每次操作是同一行或同一列的3個數加上相同的整數，增加的數也能整除3。那么，原來表中的9個數的和也必能整除3。把表中的9個數相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，與假設矛盾，所以不能實現。

　　15、今有長度為1，2，3，……，198，199的金屬桿各一根，能否用上全部的金屬桿，不彎曲其中的任何一根，把它們焊成接成 （1）一個正方體框架？（2）一個長方體框架？

　　分析：（1）不能。 正方體有12條棱，金屬桿長度之和能被12整除時，才能不彎曲任何一根焊成正方體框架。1+2+3+……+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以長度之和不是12的整數倍。 （2）可以。
（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以組成100個199，所以可以構成一個長199×12，寬199×12，高199的長方體框架，棱長共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以構成一個長199×20，寬199×3，高199×2的長方體框架，棱長共（199×20+199×3+199×2）×4=199×100；等等。