五十道行程問題詳解四
18、一個圓的周長為60厘米，三個點(diǎn)把這個圓圈分成三等分，3只甲蟲A、B、C按順時針方向分別在這三個點(diǎn)上，它們同時按逆時針方向沿著圓圈爬 行，A的速度為每秒5厘米，B的速度為每秒1．5厘米，C的速度為每秒2．5厘米．問3只甲蟲爬出多少時間后第一次到達(dá)同一位置?
解：我們先考慮B、C兩只甲蟲什么時候到達(dá)同一位置，C與B相差20厘米，C追上B需要20÷(2．5-1．5)=20(秒)．而20秒后每次追及又 需60÷(2.5-1.5)=60(秒)；再考慮 A與C，它們第一次到達(dá)同一位置要20÷(5-2．5)=8(秒)，而8秒后，每次追及又需60÷(5--2．5)=24（秒)．可分別列出A與C、B與 C相遇的時間，推導(dǎo)出3只甲蟲相遇的時間
解：(1)C第一次追上B所需時間20÷(2．5-1．5)=20(秒)．
(2)以后每次C追上B所需時間： 60÷(2．5-1．5)=60(秒)．
(3)C追上B所需的秒數(shù)依次為： 20，80，140，200，…．
(4)A第一次追上C所需時間：20÷(5-2．5)=8(秒)．
(5)以后A每次追上C所需時間：60÷(5--2．5)=24（秒)
(6)A追上C所需的秒數(shù)依次為： 8，32，56，80，104…．
19、甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。
解： 先畫圖如下：
【方法一】 若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。
同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。
50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）
（80+50）×6＝130×6=780（米）
答：A、B間的距離為780米。
【方法二】設(shè)甲的速度是x米/分鐘
那么有(x-50)×26=(x+50)×6
解得x=80
所以兩地距離為(80+50)×6=780米
20.甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，兩人出發(fā)后1小時，甲與乙在離山頂600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出發(fā)點(diǎn)共用多少小時？
解析：由甲、乙兩人下山的速度是上山的1.5倍，有：
⑴甲、乙相遇時，甲下山600米路程所需時間，相當(dāng)于甲上山走600÷1.5=400米的時間。所以甲、乙以上山的速度走一小時，甲比乙多走600+400=1000米。
根據(jù)⑴的結(jié)論，甲以上山的速度走1小時的路程比山坡長度多400，所以山坡長3600米。
1小時后，甲已下坡600米，還有3600-600=3000米。所以，甲再用3000÷6000=0.5小時。
總上所述，甲一共用了1+0.5=1.5小時。
評注： 本題關(guān)鍵在轉(zhuǎn)化，把下山的距離再轉(zhuǎn)化為上山的距離，這種轉(zhuǎn)化是在保證時間相等的情況下。通過轉(zhuǎn)化，可以理清思路。但是也要分清哪些距離是上山走的，哪些是下山走的。
