1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

　　解：設此自然數為x，依題意可得

　　x-45=m^2................(1)

　　x+44=n^2................(2)(m,n為自然數)

　　(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

　　但89為質數，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

　　2、求證：四個連續的整數的積加上1，等于一個奇數的平方。

　　分析：設四個連續的整數為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數。欲證

　　n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

　　證明：設這四個整數之積加上1為m，則

　　m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

　　而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。

　　3、證明，（5n+1）不是平方數（n為自然數）。

　　證明：現在，假設n為奇數：不管n為哪個奇數，5n的末位數一定是5。這樣，式子變成了3×（5+1），等于18，末位是8。可是根據這一條完全平方數的性質，就能判別正誤了。

　　請看這邊：完全平方數的末位數字只能是0、1、4、5、6、9這6個數中的某一個。顯然不對。看看偶數會怎么樣。

　　如果n為偶數，這樣5n末位一定為0。式子現在又變成了：3×（0+1），等于3。還是看上面完全平方數的定律，答案也是錯。現在已經證明出來了。

　　這一道題告訴我，當我遇到像這種證明題，看看用分類證明的方法是不是最好。其實，這題目也不是很難，關鍵在于我們是否能從數的末位去巧做完全平方數的題！