奇偶問(wèn)題練習(xí)題一
1.小華買(mǎi)了一本共有96張練習(xí)紙的練習(xí)本，并依次將它的各面編號(hào)（即由第1面一直編到第192面）。小麗從該練習(xí)本中撕下其中25張紙，并將寫(xiě)在它們上面的50個(gè)編號(hào)相加。試問(wèn)，小麗所加得的和數(shù)能否為2000？
【分析】不可能。因?yàn)?5個(gè)奇數(shù)相加的和是奇數(shù)，25個(gè)偶數(shù)相加是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)=奇數(shù)
2.有98個(gè)孩子，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到98各不相同。試問(wèn)：能否將這些孩子排成若干排，使每排中都有一個(gè)孩子的號(hào)碼數(shù)等于同排中其余孩子號(hào)碼數(shù)的和？并說(shuō)明理由。
【分析】不可以。一名為98個(gè)數(shù)中有49個(gè)奇數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)等于奇數(shù)，奇數(shù)不是二的倍數(shù)。
3.有20個(gè)1升的容器，分別盛有1，2，3，…，20立方厘米水。允許由容器A向容器B倒進(jìn)與B容器內(nèi)相同的水（在A中的水不少于B中水的條件下）。問(wèn)：在若干次倒水以后能否使其中11個(gè)容器中各有11立方厘米的水？
【分析】不可能，因?yàn)閮蓚�(gè)奇數(shù)相加等于偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)相加等于偶數(shù)，11是奇數(shù)，B是偶數(shù)，偶數(shù)不等于奇數(shù)。
4.一個(gè)俱樂(lè)部里的成員只有兩種人：一種是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說(shuō)真話；一種是騙子，永遠(yuǎn)說(shuō)假話。某天俱樂(lè)部的全體成員圍坐成一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè)騙子兩旁都是老實(shí)人。外來(lái)一位記者問(wèn)俱樂(lè)部的成員張三：“俱樂(lè)部里共有多少成員？”張三答：“共有45人。”另一個(gè)成員李四說(shuō)：“張三是老實(shí)人。”請(qǐng)判斷李四是老實(shí)人還是騙子？
【分析】李四是騙子，老實(shí)人和說(shuō)謊的人的人數(shù)相等，可是45是個(gè)奇數(shù)，所以張三是騙子。
5.圍棋盤(pán)上有19×19個(gè)交叉點(diǎn)，現(xiàn)在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點(diǎn)上放著白子（或黑子）。問(wèn)：能否把黑子全移到原來(lái)的白子的位置上，而白子也全移到原來(lái)黑子的位置上？
【分析】不可以，因?yàn)椴皇前鬃侄嗪谧忠粋�(gè)，就是黑子多白字一個(gè)，不可能相等。
6.某市五年級(jí)99名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題共30道，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是基礎(chǔ)分15分，答對(duì)一道加5分，不答記1分，答錯(cuò)一道倒扣1分。問(wèn)：所有參賽同學(xué)得分總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？
【分析】奇數(shù)，5*30+15=165 165-6N-4M=奇數(shù)減去偶數(shù)=奇數(shù) 99*奇數(shù)=奇數(shù)。
7.現(xiàn)有足夠多的蘋(píng)果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆（每堆都有蘋(píng)果、梨和桔子三種水果），才能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。
分析與解：當(dāng)每堆都含有三種水果時(shí)，三種水果的奇偶情況如下表：
可見(jiàn)，三種水果的奇偶情況共有8種可能，所以必須最少分成9堆，才能保證有兩堆的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。
說(shuō)明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況一一列舉出來(lái)，使問(wèn)題一目了然。
8.有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內(nèi)共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成？
解：當(dāng)幣值為偶數(shù)時(shí)，可以用若干枚2分硬幣組成；
當(dāng)幣值為奇數(shù)時(shí)，除1分和3分這兩種幣值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬幣組成，所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。
說(shuō)明：將全體整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類(lèi)，分而治之，逐一討論，是解決整數(shù)問(wèn)題的常用方法。
若偶數(shù)用2k表示，奇數(shù)用2k+1表示，則上述討論可用數(shù)學(xué)式子更為直觀地表示如下：
當(dāng)幣值為偶數(shù)時(shí)，2k說(shuō)明可用若干枚2分硬幣表示；
當(dāng)幣值為奇數(shù)時(shí)，
2k+1=2（k-2）+5，
其中k≥2。當(dāng)k=0，1時(shí)，2k+1=1，3。1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成，而其他幣值均可由2分和5分硬幣組成。
9.設(shè)標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開(kāi)關(guān)。現(xiàn)在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈沒(méi)亮。小華從燈A開(kāi)始順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，即從A到G，再?gòu)腁開(kāi)始順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，他這樣拉動(dòng)了999次開(kāi)關(guān)后，哪些燈亮著，哪些燈沒(méi)亮？
解：一盞燈的開(kāi)關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，將改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，即亮的變成熄的，熄的變成亮的；而一盞燈的開(kāi)關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)。由于
999=7×142+5，
因此，燈A，B，C，D，E各被拉動(dòng)143次開(kāi)關(guān)，燈F，G各被拉動(dòng)142次開(kāi)關(guān)。所以，當(dāng)小華拉動(dòng)999次后B，E，G亮，而A，C，D，F(xiàn)熄。
10.桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動(dòng)77枚，第2次翻動(dòng)其中的76枚，第3次翻動(dòng)其中的75枚……第77次翻動(dòng)其中的1枚。按這樣的方法翻動(dòng)硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說(shuō)明你的理由。
分析：對(duì)每一枚硬幣來(lái)說(shuō)，只要翻動(dòng)奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實(shí)，對(duì)我們解決這個(gè)問(wèn)題起著關(guān)鍵性作用。
解：按規(guī)定的翻動(dòng)，共翻動(dòng)1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬幣翻動(dòng)了39次，這是奇數(shù)。因此，對(duì)每一枚硬幣來(lái)說(shuō)，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到
77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），
根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計(jì)如下的翻動(dòng)方法：
第1次翻動(dòng)77枚，可以將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；第2次與第77次共翻動(dòng)77枚，又可將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動(dòng)一次。這樣每枚硬幣都翻動(dòng)了39次，都由正面朝下變?yōu)檎娉稀?/p>
說(shuō)明：（1）此題也可從簡(jiǎn)單情形入手（如9枚硬幣的情形），按規(guī)定的翻法翻動(dòng)硬幣，從中獲得啟發(fā)。
（2）對(duì)有關(guān)正、反，開(kāi)、關(guān)等實(shí)際問(wèn)題通常可化為用奇偶數(shù)關(guān)系討論。
11.在8×8的棋盤(pán)的左下角放有9枚棋子，組成一個(gè)3×3的正方形（如左下圖）。規(guī)定每枚棋子可以跳過(guò)它身邊的另一枚棋子到一個(gè)空著的方格，即可以以它旁邊的棋子為中心作對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，可以橫跳、豎跳或沿著斜線跳（如右下圖的1號(hào)棋子可以跳到2，3，4號(hào)位置）。問(wèn)：這些棋子能否跳到棋盤(pán)的右上角（另一個(gè)3×3的正方形）？
解：自左下角起，每一個(gè)方格可以用一組數(shù)（行標(biāo)、列標(biāo)）來(lái)表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格記為（i，j）。問(wèn)題的關(guān)鍵是考慮9枚棋子（所在方格）的列標(biāo)的和S。
一方面，每跳一次，S增加0或偶數(shù)，因而S的奇偶性不變。另一方面，右上角9個(gè)方格的列標(biāo)的和比左下角9個(gè)方格的列標(biāo)之和大
3×（6+7+8）-3×（1+2+3）=45，
這是一個(gè)奇數(shù)。
綜合以上兩方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那個(gè)3×3的正方形里。
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