數論之完全平方數練習5

　　1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

　　解：設此自然數為x，依題意可得

　　x-45=m^2................(1)

　　x+44=n^2................(2)(m,n為自然數)

　　(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

　　但89為質數，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

　　2、求證：四個連續的整數的積加上1，等于一個奇數的平方。

　　分析：設四個連續的整數為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數。欲證

　　n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

　　證明：設這四個整數之積加上1為m，則

　　m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

　　而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。