關于分解質因數的例題講析

　　通過把一個合數分解為兩個或兩個以上質因數，來解答應用題的解題方法叫做分解質因數法。

　　分解質因數的方法在求最大公約數和最小公倍數時有用，在學習有理數的運算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應用。分解質因數的方法還可為一些數學問題提供新穎的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創造性思維。

　　*例1  ABC×D=1673，在這個乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數字，ABC是一個三位數。求ABC代表什么數？（適于六年級程度）

　　解：因為ABC×D=1673，ABC是一個三位數，所以可把1673分解質因數，然后把質因數組合成一個三位數與另一個數相乘的形式，這個三位數就是ABC所代表的數。

　　1673=239×7

　　答：ABC代表239。

　　例2 一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長是多少米？（適于六年級程度）

　　解：先把2304分解質因數，并把分解后所得的質因數分成積相同的兩組質因數，每組質因數的積就是正方形的邊長。

　　2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

　　=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）

　　=48×48

　　正方形的邊長是48米。

　　這塊田地的周長是：

　　48×4=192（米）

　　答略。

　　*例3 有3250個桔子，平均分給一個幼兒園的小朋友，剩下10個。已知每一名小朋友分得的桔子數接近40個。求這個幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級程度）

　　解：3250-10=3240（個）

　　把3240分解質因數：

　　3240=23×34×5

　　接近40的數有36、37、38、39

　　這些數中36=22×32，所以只有36是3240的約數。

　　23×34×5÷（22×32）

　　=2×32×5

　　=90

　　答：這個幼兒園有90名小朋友。

　　*例4 105的約數共有幾個？（適于六年級程度）

　　解：求一個給定的自然數的約數的個數，可先將這個數分解質因數，然后按一個質數、兩個質數、三個質數的乘積……逐一由小到大寫出，再求出它的個數即可。

　　因為，105=3×5×7，

　　所以，含有一個質數的約數有1、3、5、7共4個；

　　含有兩個質數的乘積的約數有3×5、3×7、5×7共3個；

　　含有三個質數的乘積的約數有3×5×7共1個。

　　所以，105的約數共有4+3+1=8個。

　　答略。

　　*例5 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個數平均分成三組，使每組三個數的乘積都相等。這三組數分別是多少？（適于六年級程度）

　　解：將這九個數分別分解質因數：

　　15=3×5

　　22=2×11

　　30=2×3×5

　　35=5×7

　　39=3×13

　　44=2×2×11

　　52=2×2×13

　　77=7×11

　　91=7×13

　　觀察上面九個數的質因數，不難看出，九個數的質因數中共有六個2，三個3，三個5，三個7，三個11，三個13，這樣每組中三個數應包括的質因數有兩個2，一個3，一個5，一個7，一個11和一個13。

　　由以上觀察分析可得這三組數分別是：

　　15、52和77；

　　22、30和91；

　　35、39和44。

　　答略。

　　*例6 有四個學生，他們的年齡恰好一個比一個大一歲，他們的年齡數相乘的積是5040。四個學生的年齡分別是幾歲？（適于六年級程度）

　　解：把5040分解質因數：

　　5040=2×2×2×2×3×3×5×7

　　由于四個學生的年齡一個比一個大1歲，所以他們的年齡數就是四個連續自然數。用八個質因數表示四個連續自然數是：

　　7，2×2×2，3×3，2×5

　　即四個學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。

　　答略。

　　*例7 在等式35×（    ）×81×27=7×18×（    ）×162的兩個括號中，填上適當的最小的數。（適于六年級程度）

　　解：將已知等式的兩邊分解質因數，得：

　　5×37×7×（    ）=22×36×7×（    ）

　　把上面的等式化簡，得：

　　15×（    ）=4×（    ）

　　所以，在左邊的括號內填4，在右邊的括號內填15。

　　15×（4）=4×（15）

　　答略。

　　*例8 把84名學生分成人數相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六年級程度）

　　解：把84分解質因數：

　　84=2×2×3×7

　　除了1和84外，84的約數有：

　　2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據不同的 約數進行分組。 84÷2=42（組），84÷3=28（組），84÷4=21（組），84÷6=14（組），84÷7=12（組），84÷12=7（組），84÷14=6（組），84÷21=4（組），84÷28=3（組），84÷42=2（組）。

　　因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。

　　答略。

　　*例9 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個數分成兩組，每組四個數，要使各組數中四個數的乘積相等。求這兩組數。（適于六年級程度）

　　解：要使兩組數的乘積相等，這兩組乘積中的每個因數不必相同，但這些因數經分解質因數，它們所含有的質因數一定相同。因此，首先應把八個數分解質因數。

　　14=2×7        143=11×13

　　30=2×3×5    169=13×13

　　33=3×11       4445=5×7×127

　　75=3×5×5    4953=3×13×127

　　在上面的質因式中，質因數2、7、11、127各有2個，質因數3、5、13各有4個。

　　在把題中的八個數分為兩組時，應使每一組中的質因數2、7、11、127各有1個，質因數3、5、13各有2個。

　　按這個要求每一組四個數的積應是：

　　2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

　　因為，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根據接下來為“14、75、 143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數是14、75、143、4953，另一組的四個數是：30、33、169、4445。

　　答略。

　　*例10 一個長方形的面積是315平方厘米，長比寬多6厘米。求這個長方形的長和寬。（適于五年級程度）

　　解：設長方形的寬為x厘米，則長為（x+6）厘米。根據題意列方程，得：

　　x（x+6）= 315

　　x（x+6）=3×3×5×7

　　=（3×5）×（3×7）

　　x（x+6）=15×21

　　x（x+6）=15×（15+6）

　　x=15

　　x+6=21

　　答：這個長方形的長是21厘米，寬是15厘米。

　　*例11 已知三個連續自然數的積為210，求這三個自然數各是多少？（適于五年級程度）

　　解：設這三個連續自然數分別是x-1，x，x+1，根據題意列方程，得：

　　（x-1）×x×（x+1）

　　=210

　　=21×10

　　=3×7×2×5

　　=5×6×7

　　比較方程兩邊的因數，得：x=6，x-1=5，x+1=7。

　　答：這三個連續自然數分別是5、6、7。

　　*例12 將37分為甲、乙、丙三個數，使甲、乙、丙三個數的乘積為1440，并且甲、乙兩數的積比丙數的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級程度）

　　解：把1440分解質因數：

　　1440= 12×12×10

　　=2×2×3×2×2×3×2×5

　　=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）

　　=8×9×20

　　如果甲、乙二數分別是8、9，丙數是20，則：

　　8×9=72，

　　20×3+12=72

　　正符合題中條件。

　　答：甲、乙、丙三個數分別是8、9、20。

　　*例13 一個星期天的早晨，母親對孩子們說：“你們是否發現在你們中間，大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說：“是的，我們的年齡和您年齡的乘 積，等于您兒子人數的立方乘以1000加上您兒子人數的平方乘以10。”從這次談話中，你能否確定母親在多大時，才生下第二個兒子？（適于六年級程度）

　　解：由題意可知，母親有三個兒子。母親的年齡與三個兒子年齡的乘積等于：

　　33×1000+32×10=27090

　　把27090分解質因數：

　　27090=43×7×5×32×2

　　根據“大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和”，重新組合上面的質因式得：

　　43×14×9×5

　　這個質因式中14就是9與5之和。

　　所以母親43歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。

　　43-9=34（歲）

　　答：母親在34歲時生下第二個兒子。