余數、同余與周期

　　一、同余的定義：

　　①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(modm)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質：

　　①自身性：a≡a(modm)；

　　②對稱性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm)；

　　③傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm)；

　　④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；

　　⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a×c≡b×d(modm)；

　　⑥乘方性：若a≡b(modm)，則an≡bn(modm)；

　　⑦同倍性:若a≡b(modm)，整數c，則a×c≡b×c(modm×c)；

　　三、關于乘方的預備知識：

　　①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數特征：

　　①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod9)或（mod3）；

　　②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；

　　五、費爾馬小定理：

　　如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(modp)。