什么是數學化，數學化的內涵是什么？

     數學化是弗賴登塔爾數學教育思想的核心，在弗賴登塔爾（(H.Freudenthal,1905—1990)是國際上極負盛名的荷蘭數學家和數學教育家.）看來，數學化有橫向（水平）數學化和縱向（垂直）數學化之分，橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里符號的生成，重塑和被使用”。也可以這樣理解：橫向數學化的產物是生成生活與數學的聯系，縱向數學化的產物是生成抽象的數學知識之間的聯系。

如何處理好橫向與縱向數學化的關系？

    弗賴登塔爾原來并不接受橫向與縱向數學化的劃分，但最終他不僅接受了這種劃分的思想，甚至到了極力推崇的地步。原因是如果用雙重的二分法分別從橫向數學化和縱向數學化進行分類，數學教育可以分成四種類型，且分別對應著的哲學觀：
1、缺少橫向數學化，也缺乏縱向數學化，是機械主義：
2、橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義；
3、橫向數學化不足，但縱向數學化被培養起來，是結構主義：
4、橫向數學化與縱向數學化都得到成長，是現實主義。當下我國基礎教育數學課程改革倡導現實主義的教學，橫向數學化與縱向數學化要結伴而行，均衡發展。數學課要上出數學味。選擇橫向的和縱向的數學化兩個標準，來設計和分析數學教學，會幫助教師更好地理解自己教學設計的明確的或含蓄的意圖，防止數學教學偏離現實主義的正確道路。

   例如，小學一年級學生怎樣學習加法呢?首先，要向學生提供熟悉的現實情境：笑笑左手拿著2支鉛筆，右手拿著3支鉛筆，她一共有幾文鉛筆?其次，指導學生參與活動：
①笑笑的一只手拿著幾支鉛筆，你就在本子上畫幾個小圓圈；
②笑笑的另一只手拿著幾支鉛筆，你在本子上繼續畫上幾個小圓圈；
②數一數你的本子上一共畫了幾個小圓圈?
④想一想：你所畫的這些小圓圈表示什么意義?

  讓每個學生都經歷上述畫圖、數數與思考等數學活動，都體驗并獲得一個數學事實：2支鉛筆與3支鉛筆合起來一共有5支鉛筆。在這個基礎上，教師才把這個數學事實加以形式化，寫出加法算式：2十3＝5或3十2＝5，并指導學生結合具體情境運用語言描述或解釋算式中每一個數或運算符號的意義。進而讓學生在新的情境中嘗試應用加法算式，表示現實生活中大量存在的加法結構。