解決牛吃草問題的多種算法

    歷史起源：英國數(shù)學家牛頓(1642—1727)說過：“在學習科學的時候，題目比規(guī)則還有用些”因此在他的著作中，每當闡述理論時，總是把許多實例放在一起。在牛頓的《普遍的算術》一書中，有一個關于求牛和頭數(shù)的題目，人們稱之為牛頓的牛吃草問題。

　　主要類型：

　　1、求時間

　　2、求頭數(shù)

　　除了總結這兩種類型問題相應的解法，在實踐中還要有培養(yǎng)運用“牛吃草問題”的解題思想解決實際問題的能力。

　　基本思路：

　　①在求出“每天新生長的草量”和“原有草量”后，已知頭數(shù)求時間時，我們用“原有草量÷每天實際減少的草量(即頭數(shù)與每日生長量的差)”求出天數(shù)。

　　②已知天數(shù)求只數(shù)時，同樣需要先求出“每天新生長的草量”和“原有草量”。

　　③根據(jù)(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天數(shù)”，求出只數(shù)。

　　基本公式：

　　解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是∶

　　(1)草的生長速度＝對應的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)÷(吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù))；

　　(2)原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；`

　　(3)吃的天數(shù)＝原有草量÷(牛頭數(shù)－草的生長速度)；

　　(4)牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度

　　第一種：一般解法

　　“有一牧場，已知養(yǎng)牛27頭，6天把草吃盡；養(yǎng)牛23頭，9天把草吃盡。如果養(yǎng)牛21頭，那么幾天能把牧場上的草吃盡呢？并且牧場上的草是不斷生長的。”

　　一般解法：把一頭牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

　　(1)27頭牛6天所吃的牧草為：27×6＝162 (這162包括牧場原有的草和6天新長的草。)

　　(2)23頭牛9天所吃的牧草為：23×9＝207 (這207包括牧場原有的草和9天新長的草。)

　　(3)1天新長的草為：(207－162)÷(9－6)＝15

　　(4)牧場上原有的草為：27×6－15×6＝72

　　(5)每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)

　　所以養(yǎng)21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡。

　　第二種：公式解法

　　有一片牧場，草每天都勻速生長(草每天增長量相等)，如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草，如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草，假設每頭牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？(2)要使牧草永遠吃不完，最多可放多少頭牛？

　　解答：

　　1) 草的生長速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)

　　原有草量：21×8-12×8=72(份)

　　16頭牛可吃：72÷(16-12)=18(天)

　　2) 要使牧草永遠吃不完，則每天吃的份數(shù)不能多于草每天的生長份數(shù)

　　所以最多只能放12頭牛。