比賽的人輪流投擲飛鏢，并累積計算各人的總分，先達到預定分數的人贏。

　　當凱蒂和海倫在玩這個游戲時，她們發現不論怎么玩就是無法達到某些分數，如21分。于是她們坐下來，拿出紙和筆，研究到底有哪些分數是無法達到的。結果她們發現，只要超過某個分數之后，任何分數都可以達到。因此她們約定將來再玩時，所設定的目標分數一定要夠大才行。

　　請找出無法達到的總分。

　　如果改變內圈與外圈的分數，對于目標分數的形式會有何影響？

　　如果內圈是m分，外圈是n分，你能找出計算無法達到的最大總分是多少的公式嗎？

答案與分析：

　　在11分以內，只有4的倍數可能達到。11和12當然也可能。如果13是可能的，它必須等于先前可能達到的分數加4或加11，但是13-4=9，13-11＝2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。同理，14是不可能的，但15是可能的，因為15-4＝11。繼續依同樣的方式推算，可以證明29是不可能達到的，但之后的

　　30＝2× (11)＋2×④

　　31＝ ＋5×④

　　32＝ 8×④

　　33＝3×)

　　有4個連續可能達到的分數，因此之后的4個連續分數也必定是可能達到的，因為：

　　34＝30＋4 35＝31＋4 36＝32＋4

　　37＝33＋4

　　故以歸納法推論，任何大于29的分數都可以達到。

　　不可能達到的分數如下：

　　1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18，

　　21，22，25，29

　　一般來說，要是m與n除了1以外沒有公因數，則不可能達到的最大分數是

mn-m-n

　　然而，如果m與n有一個公因數d，那么就只有d的倍數才可能達到，因此無法找到一個最大的不可達到的目標分數。證明上面的公式已超出本書的范圍，但是以下述的方式分析題目中的例子，也可以使我們了解為什么這個結果可能是對的。

　　先只考慮4，所有4的倍數都是可達到的。接著要證明的就是加上11的倍數，并超過某一數目之后，任何分數都是可達到的。

　　由于

11＝2×4＋3

22＝5×4＋2

33＝8×4＋1

　　故11的前三個倍數與4的倍數分別相差3、2、1，因此可以把它們寫成如下的形式：

4n＋3 4n＋2 4n＋1

　　所以33以上的所有分數都是可能達到的。略加思考之后，我們又知道不可能達到的最大分數應該比33少4，它的形式應該是

(4-1)×11-4

　　如以通式表示，則：

(n-1)m-n＝nm-m-n