2．復合應用題

　　復合應用題就是要用兩步或兩步以上的運算才能解答的應用題。因此，每個復合應用題一般都由兩個或兩個以上有聯系的簡單應用題復合而成。復合應用題中需要用特殊的思路與方法進行解答的，這類題稱為典型應用題。復合應用題由于數量關系復雜，解題時應特別注意遵循以下步驟：

　　第一步：審題。了解題中的內容，理解題意，找出題中的已知條件和要求的問題。

　　第二步：分析。重點分析題中的數量關系，即已知數與已知數的關系，已知數和未知數的關系，從而找出解題的途徑與方法。

　　第三步：列式。確定解題步驟與方法，先算什么，再算什么，……最后算什么，并列出分步式或者綜合式，進行計算得出答案。

　　第四步：驗算。通過驗算最后確定答案正確與否。

　　第五步：答題。寫出題目中所要求的答案。

　　在以上的步驟中，審題是基礎，分析是關鍵。只有認真審題，正確分析，才能找到正確的解題思路，列出正確的算式進行解答。驗算往往在解題時容易忽略，其實這一步是非常重要的，有的學生解答完一道題后，自己不知道是否正確，沒有把握，這就是沒有進行“驗算”訓練的表現。作答一般來講是容易的事，正因為如此，在作答時往往出現張冠李戴的錯誤。

　　例 1 勝利機械廠1995年的產值是65萬元，1997年的產值比1995年增長了3倍。1997年的產值是多少萬元？

　　[解]65+65×3

　　=65+195

　　=260（萬元）。

　　或者65×（3+1）

　　=65×4

　　=260（萬元）。

　　答：1997年的產值是260萬元。

　　[常見錯誤]

　　65×3=195（萬元）。

　　答：1997年的產值是195萬元。

　　例 2 果園鄉去年收桔子40萬箱，今年收桔子120萬箱。今年的桔子產量比去年增加了幾倍？

　　[解]（120-40）÷40=80÷40

　　=2。

　　答：今年的桔子產量比去年增加2倍。

　　[常見錯誤]

　　120÷40=3（倍）。

　　答：今年桔子產量比去年增加了3倍。

　　[分析]

　　以上兩例的錯誤，主要是由于學生對“倍數”關系理解不清而造成的。例1誤把“增長了3倍”與“求一個數的3倍是多少”等同起來，不知道1997年的產值比1995年增長3倍以后，是 1995年產值的4倍，因此產生了錯誤；例2對“今年的桔子產量比去年增加了幾倍”理解不清，把它與“今年的產量是去年的幾倍”等同起來，所以產生了錯誤，列式中由于“倍”不是計量單位，因此最后在“倍”字上加括號作為計量單位，也是錯誤的。

　　應用題中所講的“倍數”一般是由兩個數量相比較而得出來的。例如“桃樹的棵數是梨樹的3倍”，是桃樹棵數與梨樹棵數相比較而得來的；“1997年的產值比1995年增長了3倍”，即 1997年的產值比1995年產值增長的數與1995年產值相比得出的3倍，因此，在解題時，若遇到“倍數”問題，一定要弄清它是由哪兩個數量比較而得來的。

　　解倍數應用題，準確地找到“1倍數”，這是解題的關鍵。倍數應用題中有個誰與誰比的問題，那個被比的數就是“1倍數”，如例1中1995年的產值是“1倍數”。

　　為了使學生正確地解答這類問題，培養學生用圖示法解題是很重要的。例如桃樹有150棵，是梨樹棵數的3倍，梨樹有多少棵？學生如能畫出下面的圖，則解題就容易得多了。

　　從圖中很清楚地可以看出，桃樹的棵數是梨樹棵數的3倍，求梨樹的棵數，就是把桃樹的棵數平均分成3份，取其中的1份，如例1，學生能畫出下面的圖，解答也就不困難了。從圖中可以看出，1997年的產值相當于1995年產值的4倍。例2結合題目的分析可繪出如下的示意圖。從圖中可以看出，要求今年桔子產量比去年增長幾倍，必須先求出今年

　　的桔子比去年增長了多少萬箱，再看增長的箱數是去年產量的幾倍，就是增長幾倍。

　例 3 狐貍在奔跑時最高速度可達每分鐘750米。照這樣計算，1小時可跑多少千米？

　　[解]750×60÷1000

　　=45000÷1000

　　=45（千米）。

　　或者：750÷1000×60

　　=0.75×60

　　=45（千米）。

　　答：狐貍最高速度1小時可跑45千米。

　　[常見錯誤]

　　750÷1000=0.75（千米）。

　　答：狐貍最高速度1小時可跑0.75千米。

　　例 4 一個餐廳長12米，寬10米，用邊長為2分米的正方形瓷磚鋪地，需要這種瓷磚多少塊？

　　[解]12×10÷（0.2×0.2）

　　=120÷0.04

　　=3000（塊）。

　　或者 120×100÷（2×2）

　　=12000÷4

　　=3000（塊）。

　　答：需要瓷磚3000塊。

　　[常見錯誤]

　　12×10÷（2×2）

　　=120÷4

　　=30（塊）。答：需要瓷磚30塊。

　　[分析]

　　以上兩例的錯誤，一方面是學生對題意不理解，另一方面就是計量單位的選用對解題產生了較大的干擾，而導致了錯誤，如例3中只有一個數量750米供學生解題時思考，他們在思考時各種計量單位的化聚同時出現在腦海里，無所適從，因此，就選擇了750÷1000的錯誤方法。

　　要防止出現類似錯誤，必須透徹地理解每一步解題的算理。如例3分析時可畫出下面的方框圖。

　　從圖中可以看出，1分鐘跑750米，1小時跑多少千米？跑的時間由1分鐘變成了1小時（60分鐘），即擴大了60倍，那么，跑的距離也應該擴大60倍，即750×60。而題中要求的是多少千米，因此再算一步得750×60÷1000。

　　例 4 有兩種解答方法，第一種是先統一用“米”作長度單位，這樣，面積就都以“平方米”作單位。第二種是先統一用“分米”作長度單位，這樣，面積就以“平方分米”作單位。只有單位統一后，才能求出正確的答案。

　　例 5100千克蓖麻籽可以榨油45千克，1千克蓖麻籽可以榨多少千克蓖麻油？

　　[解]45÷100=0.45（千克）。

　　答：1千克蓖麻籽可以榨0.45千克油。

　　[常見錯誤]

　　100÷0.45≈2.22（千克）。

　　答：1千克蓖麻籽可以榨2.22千克油。

　　例 6 用0.5度電可以生產化肥0.4千克。照這樣計算，生產1千克化肥需要多少度電？

　　[解]0.5÷0.4=1.25（度）。

　　答：生產1千克化肥要1.25度電。

　　[常見錯誤]

　　0.4÷0.5=0.8（度）。

　　答：生產1千克化肥要0.8度電。

　　[分析]

　　學生解以上兩題出現錯誤的原因有兩個方面。第一是他們不熟悉題中的事情，沒有這方面的感性知識；第二是在學習整數時，除法運算都是較大數除以較小數，而到了學習小數時，較小的數也可以作為被除數，因此，他們對確定被除數與除數，還不能從算理上進行分析，要么憑經驗用較大數作被除數（例5），要么瞎猜亂碰（例6）。為了防止上述錯誤的發生，首先要分析算理，如例5，45千克蓖麻油是從100千克蓖麻籽中榨出來的，要求每千克蓖麻籽能榨油多少千克，應該把45千克油平均分成100份，每份就是1千克蓖麻籽榨出的油的千克數，所以用45÷100而不是100÷45。其次，要讓學生弄明白蓖麻籽榨成油后，分成了兩部分，一部分是蓖麻油，另一部分是蓖麻餅。題中要求1千克蓖麻籽榨多少千克蓖麻油，這個結果一定是小于1千克。學生若明白了這個事理，就不會錯成1千克蓖麻籽榨出2.22千克油來。為了防止出現這類問題的錯誤，可有針對性地解答以下問題：

　　①小明跑100米用了20秒鐘。

　　a．平均每跑1米用了多少時間？

　　b．平均每秒跑了多少米？

　　②某煤礦每采420千克煤需用電4度。

　　a．平均每度電可采煤多少千克？

　　b．平均每采1千克煤需用電多少度？

　　例 7 張村今年植樹1480棵，比李村植樹的棵數少245棵。今年兩村共

　　植樹多少棵？

　　[解]1480+（1480+245）

　　=1480+1725

　　=3205（棵）。

　　答：今年兩村共植樹3205棵。[常見錯誤]

　　1480+245=1725（棵）。

　　答：今年兩村共植樹1725棵。

　　例 8 洪江路小學參加科技小組的同學有120人，比參加數學小組人數的

　　2倍多20人。參加兩個小組的同學共有多少人？

　　[解]120+（120-20）÷2

　　=120+100÷2

　　=120+50

　　=170（人）。

　　答：參加兩個小組的同學共有170人。

　　[常見錯誤]

　　（1）120×2-20

　　=240-20

　　=220（人）。

　　答：參加兩個小組的同學共有220人。

　　（2）120×2+20

　　=240+20

　　=260（人）。

　　答：參加兩個小組的同學共有260人。

　　[分析]

　　以上兩例有一個共同的特點，就是題中的一個已知條件在解題時要重復運用一次。因此，學生解這類問題時極易發生錯誤。如例7“今年植樹1480棵”這一已知條件要運用兩次才能解答此題，而學生往往錯誤地認為將1480加上245就是兩年植樹的棵數，從而發生了錯誤。例8中“參加科技小組的同學有120人”這個已知條件解題時也要重復用兩次，而學生解題時容易理解成“參加科技小組人數的2倍多20人”就是兩個小組的人數，因而發生了解題錯誤。

　　為了防止發生上述錯誤，可用填圖的方法進行思考，如例7填圖法的解題思路是這樣的：

　　通過以上的步驟進行填圖，就明白了要求兩村一共植樹多少棵，一定要知道張村與李村各植樹多少棵。這樣，就不會發生遺漏已知條件的解題錯誤。其次是通過畫圖來理解數量關系。如例8可畫出下圖：

　　從圖中形象地看出，其中數學組的人數不知道，如果從科技組的人數中去掉20名，則正好是數學組人數的2倍，從而求出數學組的人數，進一步求出兩組共有的人數。

　　以上兩例中的一個已知條件解題時只重復使用兩次，有的題已知條件要重復使用多次。

　　例如：

　　某運輸隊第一天運了64.5噸煤，第二天比第一天少運了18噸，第三天運的噸數是第一天的3倍。三天一共運多少噸？

　　這道題的解法是：

　　64.5+（64.5-18）+64.5×3

　　=64.5+46.5+193.5

　　=111+193.5

　　=304.5（噸）。

　　答：三天共運煤304.5噸。

　　例 9 蔬菜公司運進一批南瓜和辣椒，南瓜比辣椒多560千克，南瓜50筐，每筐40千克，辣椒40筐，每筐多少千克？

　　[解]（40×50-560）÷40

　　=（2000-560）÷40

　　=1440÷40

　　=36（千克）。

　　答：辣椒每筐36千克。

　　[常見錯誤]

　　40×50-560÷40

　　=2000-560÷40

　　=1440÷40

　　=36（千克）。

　　答：辣椒每筐36千克。

　　[分析]

　　例 9 的錯誤是沒有使用括號，此題盡管解題的思路是正確的，但由于沒有使用括號而導致綜合算式的錯誤。另外，在應用題解答中添加多余的括號的現象也很普遍。產生上述錯誤的原因是沒有理解使用括號的作用，以及不知道如何使用括號。糾正的辦法也應該從這兩方面著手。第一通過實際例子認識到括號的作用是改變運算順序。例如計算并說明下面每組算式的結果為什么不同。

　　通過以上的練習，學生認識到，在一個算式中，由于使用了括號，就改變了原來的運算順序，計算出的結果就不同。其次是弄清怎樣正確使用括號。

　　列綜合算式解應用題是學生學習的難點，而正確地使用括號又是小學生列綜合算式的難點。為了突破這個難點，一般可分下面兩個階段進行訓練。

　　第一階段：分步列式解答應用題。

　　第二階段：將分步式改寫成綜合算式。

　　如例9，分步列式應該為：

　　40×50=2000（千克）………南瓜的總重量

　　2000-560=1440（千克）……辣椒的總重量

　　1440÷40=36（千克）………辣椒每筐的重量

　　我們知道，混合運算的順序是先算括號里面的再算括號外面的。有括號是先算小括號，再算中括號，最后算大括號里面的。先把第一步算式用小括號括起來（不算出結果），即（40×50），再把第二步算式用中括號括起來，即[（40×50）-560]，最后除以40的運算顯然可以放在中括號之外了，這樣得到綜合算式如下：

　　[（40×50）-560）÷40。

　　由于中括號里面的運算應該是先乘除后加減，因此小括號是多余的，去掉里面小括號，將外面中括號改為小括號，即得例9的綜合算式為：

　　（40×50-560）÷40。

　　例 10一個工廠3小時加工零件96個。照這樣計算，再工作5小時，一共加工零件多少個？（用兩種方法解答）

　　解法1：96+96÷3×5

　　=96+32×5

　　=96+160

　　=256（個）。

　　解法2：設再工作5小時，一共加工零件x個。

　　x÷（5+3）=96÷3，x÷8=32，

　　x=256。

　　答：再工作5小時，一共加工零件256個。

　　[常見錯誤]

　　解法1：

　　（1）平均每小時加工多少個：

　　96÷3=32（個）。

　　（2）這個工人還要工作5小時，加工零件多少個？

　　32×5=160（個）。

　　（3）他一共加工零件多少個？

　　96+160=256（個）。

　　解法2：96+96÷3×5

　　=96+32×5

　　=96+160

　　=256（個）。

　　答：再工作5小時，一共加工零件256個。

　　例 11食堂有煤12噸，前 5天燒了3噸，照這樣計算，剩下的煤可以多少天？（用兩種方法解答）

　　解法1：（12-3）÷（3÷5）

　　=9÷0.6

　　=15（天）。

　　解法2：設剩下的煤可以燒x天

　　3x=60-15，

　　x=45÷3，

　　x=15。

　　答：剩下的煤可以燒15天。

　　[常見錯誤]

　　解法1：設剩下的煤可以燒x天。

　　（12-3）÷x=3÷5，

　　9÷x=0.6，

　　x=9÷0.6，

　　x=15。

　　解法2：設剩下的煤可以燒x天。3÷5=（12-3）÷x，

　　0.6=9÷x，

　　x=9÷0.6，

　　x=15。

　　答：剩下的煤可以燒15天。

　　[分析]

　　例 10解答都沒有錯，只是把解題思路相同的分步列式解答與綜合列式解答作為兩種解法，例 11的兩種解法都是用同一方程解應用題，不同的只是等式兩邊互換了一下位置，這實際上也是一種解法。出現這種情況的原因是不理解“兩種解法”的含義，不知道所謂“兩種解法”就是用兩種不同的思路去解題，而不是形式上的不同，不同的思路去解題，必然列出的算式的算理不同，當然一般而言算術解法與代數解法（即列方程）屬于不同解法。要真正理解不同解法的實質，應分析比較不同的算術解法的算理。

　　例如：王師傅裝配一臺機器，原來要用2.2小時，革新技術后，現在裝配一臺機器比原來縮短0.2小時，問原來裝配60臺機器所需的時間，現在可以裝配多少臺？

　　解法1：2.2×60÷（2.2-0.2）

　　=132÷2

　　=66（臺）。

　　解法2：60+0.2×60÷（2.2-0.2）

　　=60+12÷2

　　=60+6

　　=66（臺）。

　　解法1與解法2的列式不同，顯然算理也不同。

　　解法1：原來裝60臺所需的時間÷現在裝配一臺用的時間=現在可以裝配多少臺。

　　解法2：原來裝的60臺+節省時間后可以多裝的臺數=現在可以裝配多少臺。

　　當然本題還可以用列方程的方法求解，應用題多種解法的目的在于開拓解題思路，如果能夠用不同的方法題解，就應該選擇一種最簡便的方法。

　　例 12良豐農場收割小麥，計劃每天收割86公頃，需18天完成任務，根據小麥成熟情況，必須提前6天完成收割任務，這樣每天應收小麥多少公頃？

　　[解] 86×18÷（18-6）

　　=1548÷12

　　=129（公頃）。答：提前6天完成任務，每天應收割129公頃。

　　[常見錯誤]

　　86×18÷6

　　=1548÷6

　　=258（公頃）。

　　答：提前6天完成任務，每天應收割258公頃。

　　例 13云麗小學要做400套校服，原來按每套2.4米買回一批布料，實際采用新裁剪方法做，平均每套節約0.4米布，這批布料實際可做多少套校服？

　　[解]2.4×400÷（2.4-0.4）

　　=960÷2

　　=480（套）。

　　或 400+0.4×400÷（2.4-0.4）

　　=400+160÷2

　　=400+80

　　=480（套）。

　　答：這批布料可以做校服480套。

　　[常見錯誤]

　　（1）（2.4-0.4）×400÷2.4

　　=2×400÷2.4

　　=800÷2.4

　　≈333（套）。

　　答：這批布料可以做校服333套。

　　（2）400+0.4×400÷2.4

　　=400+160÷2.4

　　≈400+67

　　=467（套）。

　　答：這批布料可以做校服467套。

　　[分析]

　　例 12的錯誤是將“提前6天完成收割任務”當成了“6天完成收割任務”，因此列式錯誤。下面重點分析例13的兩種解法的錯誤。錯解（1）中的2.4-0.4，即每套校服節約用布后需用布多少米，（2.4-0.5）×400即節約用布后，做400套校服總共用布多少米。那么算式（2.4-0.4）×400÷2.4表示的是什么呢？它表示的是節約用布后做400套校服的用布，按原來的方法裁剪可做多少套校服，這顯然不是題目所問的；錯解（2）中的0.4×400，即400套總共可以節約的用布，0.4×400÷2.4即400套總共節約的用布，按原來的方法裁剪可以做多少套校服，再加上400套，顯然不是題目所問的了。如果把400套總共節約的用布，按現在的方法裁剪可以做多少套計算出來后，再加上400套，這又是題目所問的了，這也就是上面正確解答中的解法二。

　　防止因數量關系分析不清而產生解題錯誤的主要辦法是對每一步算式弄清算理，錯誤的算式只有在分析算理后才能知道錯在什么地方，分析了算式的錯誤后正確的列式也就產生了。

　　例 14少先隊開展植樹活動。第一中隊植樹40棵，第二中隊比第一中隊少植樹5棵，第三中隊植的是第一中隊的2倍。三個中隊一共植樹多少棵？

　　[解]40+（40-5）+40×2

　　=40+35+80

　　=155（棵）。

　　答：三個中隊一共植樹155棵。

　　[常見錯誤]

　　（1）40-5+40×2

　　=35+80

　　=115（棵）。

　　答：三個中隊一共植樹115棵。

　　（2）（40-5）×2

　　=35×2

　　=70（棵）。

　　答：三個中隊一共植樹70棵。

　　例 15甲乙兩城相距128.1千米，一輛汽車從甲城開往乙城，行駛3小時后離乙城還有20.1千米。這輛汽車平均每小時行多少千米？

　　[解]（128.1-20.1）÷3

　　=108÷3

　　=36（千米）。

　　答：這輛汽車平均每小時行36千米。

　　[常見錯誤]

　　128.1÷3-20.1=42.7-20.1

　　=22.6（千米）。

　　答：這輛汽車平均每小時行22.6千米。

　　[分析]

　　例14的錯解（1）是對題中的“第二中隊比第一中隊少植樹5棵”理解錯誤，以為40-5的結果是兩個中隊植的。錯解（2）則是對題中的已知條件及所求的問題都是不清楚的。例 4的錯誤是將“行駛3小時后離乙城還有20.1千米”理解為汽車的平均速度，比 3小時行完甲、乙城的距離還少20.1千米。為了防止以上錯誤的發生，且對這類問題的數量關系有較深刻地理解，用圖示幫助分析是很必要的，如例14在分析數量關系時可畫出如下面的圖。

　　從上圖可以清楚地看出，要求三個中隊共植樹多少棵，必須求出第二中隊、第三中隊各植樹多少棵，再求出三個中隊共植樹多少棵。

　　例 15解答時可畫出下圖。

　　從圖中清晰地看出，汽車行3小時還距乙城20.1千米，也就是說，汽車3小時只行了128.1-20.1=108（千米），而不是行了128.1千米。理解了這點后，再根據距離、速度、時間三者的關系，就能較容易求出汽車的平均速度。