167.怎樣判斷一個數(shù)能不能被11整除？

　　判斷一個數(shù)能不能被11整除與判斷一個數(shù)能不能被7整除一樣，都沒有直接判斷的方法，需要借助間接的方法，這種間接的方法有兩種，其一是“割減法”，其二是奇偶位差法。

　　（1）割減法：判斷被11整除的割減法與判斷被7整除的割減法不同。即：一個數(shù)割去末尾數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去這個末位數(shù)字，這樣一次一次地減下去，如果最后結(jié)果是11的倍數(shù)（包括得0），那么這個數(shù)就能被11整除；如果最后結(jié)果不是11的倍數(shù)，那么這個數(shù)就不能被11整除。

　　例如：4708……割去末位8

　　因此，4708能被11整除。

　　在判斷時，對于數(shù)目不大的數(shù)，用口算就可以看出結(jié)果。

　　通過口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。

　　（2）奇偶位差法：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括0），那么原來這個數(shù)就一定能被11整除。

　　例如①：判斷283679能不能被11整除。

　　23-12=11

　　因此，283679能被11整除。

　　②判斷480637能不能被11整除。

　21-7=14

　　因此，480637不能被11整除。

　　上述這種方法叫做奇偶位差法，算理可通過下列算式說明。

　　9÷9=1 9÷11（不能整除）

　　99÷9=11 99÷11=9

　　999÷9=111 99÷11（不能整除）

　　9999÷9=1111 9999÷11=909

　　99999÷9=11111 9999÷11（不能整除）

　　999999÷9=111111 999999÷11=90909

　　…… ……

　　由以上兩算式中可以看到：全部由9組成的任何一個數(shù)，都能被9整除，但除以11則不一定，只有當(dāng)9的個數(shù)成偶數(shù)時，才能被11整除，當(dāng)9的個數(shù)是奇數(shù)時，則不能被11整除。

　　當(dāng)一個數(shù)首尾數(shù)字相同，中間都是0，而且0的個數(shù)成偶數(shù)時，這個數(shù)也能被11整除。

　　如：11÷11=1

　　1001÷11=91

　　300003÷11=27273

　　……

　　通過用奇偶位差法的分解來判斷8712能不能被11整除，從中也可以進(jìn)一步理解這種判斷方法的算理。

　　8712=8000+700+10+2 ①

　　偶 奇 偶 奇

　　偶位上的數(shù)可以寫成：

　　8000=8×1000=8×（1001-1） ②

　　10=1×10=1×（11-1） ③

　　奇位上的數(shù)可以寫成：

　　700=7×100=7×（99+1） ④

　　把②③④式代到①式中去。

　　第一個括號中所得的結(jié)果，肯定能被11整除，原數(shù)能不能被11整除，決定于第二個括號中所得的數(shù)，而第二個括號中的數(shù)，恰恰是奇位數(shù)字與偶位數(shù)字之差，由此而得出了用奇偶位差法來判斷一個數(shù)能不能被11整除。