2.3  盈不足問題

　　在我國古代的算書中，《九章算術》是內容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現代的語言來敘述，就是下面的例題.

　　例16 有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價是多少？

　　解：“多3元”與“少4元”兩者相差

　　3＋4＝7（元）.

　　每個人要多出 8-7＝1（元）.

　　因此就知道，共有7÷1＝7（人），物價是

　　8×7-3＝53（元）.

　　答：共有 7個人一起買，物價是 53元.

　　上面的3＋4可以說是兩個總數的相差數.而8-7是每份的相差數.計算公式是

　　總數相差數÷每份相差數=份數

　　這樣的問題在內容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請再看一些例子.

　　例17 把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？

　　解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的 10 ×3＝ 30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有

　　10×3÷（16-10）＝ 5（人）.

　　再加上這 3位小朋友，共有小朋友 5＋3＝ 8（人）.這袋糖有

　　10×（5 ＋ 3）＝ 80（粒）.

　　解二：如果我們再增加 16×3粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友

　　16×3÷（16-10）=8（人）·

　　這袋糖有80粒.

　　答：這袋糖有80粒.

　　這里， 16×3是總差，（16-10）是每份差， 8是份數.

　　例18 有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個班共有多少名同學？

　　解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現在有6個人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個人坐船.可以坐船的人數，兩者相差 6＋ 9＝ 15（人）.

　　這是由于每條船多坐（9-6）人產生的，因此共有船

　　（6 ＋ 9）÷(9-6）＝ 5（條）·

　　這個班的同學有 6×5 ＋ 6＝ 36（人）.

　　答：這個班有36人.

　　例19 小明從家去學校，如果每分鐘走 80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學校的路程有多遠？

　　解一：以小明從家出發到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學校的距離進行比較：如果每分鐘走 80米，就可以多走 80×6（米）；如果每分鐘走 50米，就要少走 50×3（米）.請看如下示意圖：

　　因此我們可以求出，小明從家出發到上課這段時間是

　　（80×6＋ 50×3） ÷（80- 50）＝ 21（分鐘）.

　　家至學校距離是

　　800×（21-6）＝ 1200（米）·

　　或 50 ×（21+3）＝ 1200（米）.

　　答：小明家到學校的路程是1200米.

　　解二：以每分鐘80米走完家到學校這段路程所需時間，作為思考的出發點.

　　用每分鐘 50米速度，就要多用 6＋3= 9（分種）.這9分鐘所走的 50×9（米），恰好補上前面少走的.因此每分鐘80米所需時間是

50×（6＋3）÷（80- 50）＝ 15（分鐘）·

　　再看兩個稍復雜的例子.

　　例20 一些桔子分給若干個人，每人5個還多余10個桔子.如果人數增加到3倍還少5個人，那么每人分2個桔子還缺少8個，問有桔子多少個？

　　解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉化這一條件.

　　假設還有 10個桔子， 10＝ 2×5，就可以多有 5個人，把“少5人”這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍人數，也相當于按原人數每人給2×3=6（個）.

　　每人給5個與給6個，總數相差

　　10＋ 10＋ 8＝ 28 (個）.

　　所以原有人數 28÷（6-5)=28（人）.

　　桔子總數是 5 ×28 ＋ 10＝ 150（個）.

　　答：有桔子150個.

　　例21 有一些蘋果和梨.如果按每1個蘋果2個梨分堆，梨分完時還剩5個蘋果，如果按每3個蘋果5個梨分堆，蘋果分完了還剩5個梨.問蘋果和梨各多少？

解一：我們設想再有10個梨，與剩下5個蘋果一起，按“1個蘋果、2個梨”前一種分堆，都分完.以后一種“3個蘋果、5個梨”分堆來看，蘋果總數能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個蘋果，2×3＝6（個）梨.與后一種分堆比較：

　　每堆蘋果都是3個.而梨多1個（6-5＝1）.梨的總數相差

　　設想增加 10個+剩下5個=15個.

　　（10 ＋ 5）÷（6- 5）＝ 15.

　　就知有15個大堆，蘋果總數是

　　15×3＝ 45（個）.

　　梨的總數是（45－5）×2＝80（個）.

　　答：有蘋果45個、梨80個.

　　解二：用圖解法.

　　前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個來表示.

　　后一種分堆，只要添上3個蘋果，就可與剩的5個梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.

　　將上、下兩圖對照比較，就可看出， 5＋ 3＝ 8（個）是下圖中“半份”，即 1份是 16.梨是 5份，共有 16×5＝ 80（個）.蘋果有 16×2.5 ＋ 5＝ 45（個）.