少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著200個(gè)彩色燈泡，這些燈或亮或暗，變幻無窮。200個(gè)燈泡按1～200編號(hào)。燈泡的亮暗規(guī)則是：第1秒，全部燈泡變亮；第2秒，凡編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第3秒，凡編號(hào)為3的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài)（即亮的變暗，暗的變亮）；第4秒，凡編號(hào)為4的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉砹涟禒顟B(tài)。這樣繼續(xù)下去，……200秒為一周期。當(dāng)?shù)?/font>200秒時(shí)，哪些燈是亮著的？

　　分析與解 在解答這個(gè)問題時(shí)，我們要用到這樣一個(gè)知識(shí)：任何一個(gè)非平方數(shù)，它的全體約數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；任何一個(gè)平方數(shù)，它的全體約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)。例如，6和18都是非平方數(shù)，6的約數(shù)有：1、2、3、6，共4個(gè)；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18，共6個(gè)。它們的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。又例如，16和25都是平方數(shù)，16的約數(shù)有：1、2、4、8、16，共5個(gè)；25的約數(shù)有1、5、25，共3個(gè)。它們的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)。

　　回到本題。本題中，最初這些燈泡都是暗的。第一秒，所有燈都變亮了；第2秒，編號(hào)為2的倍數(shù)（即偶數(shù)）的燈由亮變暗；第3秒，編號(hào)為3的倍數(shù)的燈改變?cè)瓉淼牧涟禒顟B(tài)，就是說，3號(hào)燈由亮變暗，可是6號(hào)燈則由暗變亮，而9號(hào)燈卻由亮變暗……。這樣推下去，很難理出個(gè)頭緒來。

　　正確的解題思路應(yīng)該是這樣的：凡是亮暗變化是偶數(shù)次的燈，一定回到最初狀態(tài)，即是暗著的。只有亮暗變化是奇數(shù)次的燈，才是亮著的。因此，只要考慮從第1秒到第200秒這段時(shí)間，每盞燈變化次數(shù)的奇偶性就可判斷燈的亮暗狀態(tài)。

　　一個(gè)號(hào)碼為a的燈，如果有7個(gè)約數(shù)，那么它的亮暗變化就是7次，所以每盞燈在第200秒時(shí)是亮還是暗決定于每盞燈的編號(hào)的約數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。我們已知道，只有平方數(shù)的全部約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)。這樣1～200之間，只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196這14個(gè)數(shù)為平方數(shù)，因而這些號(hào)碼的燈是亮著的，而其余各盞燈則都是暗著的。