解決此游戲的訣竅在于認(rèn)識(shí)到這在數(shù)學(xué)上等同于劃井游戲。令人驚訝的是，這一等式是基于10―shu，即最先在古中國(guó)發(fā)現(xiàn)的3―3數(shù)字魔方。

　　為欣賞這一魔方的奇妙．讓我們列出三個(gè)不同數(shù)字(除0外)相加等于l5的表，一共有8組：

　　1+5+9=15
　　1+6+8=15
　　2+4+9=15
　　2+5+8=15
　　2+6+7=15
　　3+4+8=15
　　3+5+7=15
　　4+5+6=15

　　現(xiàn)在仔細(xì)觀察獨(dú)特的3―3數(shù)字魔方：

　　2 9 4
　　7 5 3
　　6 1 8

　　注意共有8行：3組橫行，3組縱行，2組斜行。每一行確定的8組數(shù)字之和均為15。因此，每一個(gè)贏的組合都是魔方中的一橫、一縱或一斜行。現(xiàn)在很容易看出，每次游藝比賽實(shí)際上相當(dāng)于劃井游戲。設(shè)盤者有一個(gè)劃在卡片上的“路數(shù)”，他可以從桌子下看到，而其他人則看不到。雖然只有一個(gè)“路數(shù)”模式，但是可以旋轉(zhuǎn)四個(gè)不同位置。每一個(gè)位置可以反映另外四種組臺(tái)。每一種組合都是玩游戲的訣竅。

　　在進(jìn)行15游戲時(shí)，如果玩得正確就不會(huì)輸。如果兩個(gè)對(duì)手都玩得正確，則游戲結(jié)果就是平局。然而設(shè)盤者的對(duì)手由于不知道是在玩劃井游戲，因而處于十分不利的地位。這就使設(shè)盤者很容易設(shè)置對(duì)己有利的騙局。

　　為更準(zhǔn)確地看出這一過(guò)程，讓我們?cè)趫D5―1中作游戲。第一步是步驟1，盡管設(shè)盤者后行，但他可以在第六步設(shè)置一個(gè)陷阱，以保證在第八步取勝。不管婦人在第七步時(shí)如何放置，任何會(huì)玩劃井游戲的人在魔方的幫助下都不會(huì)輸。

　　圖5-1

　　同型(數(shù)學(xué)等式)是數(shù)學(xué)上最重要的概念之一。通過(guò)演化成已知的同型式，可以在很多情況下解決許多問(wèn)題。隨著數(shù)學(xué)越來(lái)越復(fù)雜，從發(fā)現(xiàn)同型而使其簡(jiǎn)化的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)也同時(shí)變得更加統(tǒng)一了。例如，當(dāng)著名的四色地圖定理在1976年被證明時(shí)，一系列其它重要的推測(cè)也被同時(shí)證實(shí)，在其它數(shù)學(xué)分支中，已知這些推測(cè)是四色理論型的。

　　為加強(qiáng)對(duì)同型這一基本概念的理解，我們考慮下面的文字游戲。

　　有九行詞：

　　兩個(gè)玩游戲者依次劃出一個(gè)詞并標(biāo)記好，首先劃出含有相同字母的三個(gè)詞者為勝者。也許玩上好多回你才會(huì)發(fā)現(xiàn)，這只不過(guò)也是在玩劃井游戲。通過(guò)把詞填入劃井游戲板中的九個(gè)單元，可以很容易看出其同型性。仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)有相同字母的一組都是一個(gè)直行：一橫、一縱或一斜行。玩此文字游戲就像玩劃井游戲或15游戲一樣。

　　玩此類游戲的最佳方法是在有空格的卡片上填入每一個(gè)數(shù)字、文字或符號(hào)。把這些卡片擺放在桌子上，兩個(gè)游戲者依次畫(huà)卡，直到?jīng)Q出勝者。在你完全了解了這些游戲的同型性后，考慮下面的網(wǎng)絡(luò)游戲。如圖5―4所示。

　　有八個(gè)鎮(zhèn)子被公路聯(lián)接。兩個(gè)游戲者分別用不同顏色的筆，依次把任何一條路涂上色。注意哪些路是通過(guò)哪些鎮(zhèn)子。首先畫(huà)出三條通過(guò)同一鎮(zhèn)子者為勝者。乍一看這個(gè)游戲與我們分析過(guò)的游戲毫無(wú)相關(guān)聯(lián)之處。實(shí)際上，這也是一個(gè)同型的劃井游戲。

　　同型性在于圖4所示的路的標(biāo)號(hào)，其中每一排對(duì)應(yīng)魔方中的幾個(gè)單元。地圖上的每一個(gè)鎮(zhèn)子對(duì)應(yīng)著魔方中三個(gè)單元組成的一個(gè)直行。與前相同，是一個(gè)完全的同型。所有會(huì)玩劃井游戲的人也都會(huì)玩涂地圖路線游戲。

　　圖5―5顯示出880個(gè)不同類型(不計(jì)循環(huán)和重復(fù))之一的4―4魔方。魔數(shù)為34。這樣一個(gè)方框可以指導(dǎo)玩34游戲嗎？即游戲者依次從1至16選擇4個(gè)數(shù)字(每個(gè)數(shù)字只能選一次)，首先將選出的數(shù)字相加為34者為勝者。這個(gè)游戲與在所示的魔方上玩4―4劃井游戲同型嗎？答案是否定的，你知道為什么嗎？

　　有可能改變劃井游戲的規(guī)則，在允許獲得四個(gè)單元的模式而不是直行的情況下，在兩個(gè)游戲之間建立起同型性嗎？