猜測(cè)電話號(hào)碼

　　鮑伯領(lǐng)悟到通過對(duì)或錯(cuò)提問來判斷一系列號(hào)碼中某一特殊成員的最高效率的方法如下：假如這一系列號(hào)碼中包含一個(gè)偶數(shù)成員，我們將它分成平等的兩部分，每一部分包含相等數(shù)量的數(shù)字元素。假如這一系列的號(hào)碼中包含一個(gè)奇數(shù)成員，我們?nèi)詫⒅�分成兩部分，兩部分在�?shù)字元素的數(shù)量上盡可能接近。然后我們問這些“兩部分”中哪一部分含有我們要找的成員，得到答復(fù)后，我們對(duì)指定的部分再重復(fù)同樣的過程；最后，原始系列中只剩下了一個(gè)號(hào)碼，它就是我們要找的那個(gè)。

　　第一個(gè)提問顯然是對(duì)于識(shí)別一個(gè)二元系列成員而言。第二個(gè)提問是對(duì)一個(gè)四元系列，第三個(gè)提問是對(duì)一個(gè)八元系列，第四次提問是對(duì)于一個(gè)十六元系列而言。推廣到一般，第n次提問是對(duì)一個(gè)2n元系列而言。

　　在猜測(cè)電話號(hào)碼這個(gè)問題上，24次提問對(duì)猜測(cè)任意一個(gè)不大于224=16 777 216的數(shù)字都是足夠的，因?yàn)?24比9 999 999大，而9 999 999是當(dāng)七位電話號(hào)碼單獨(dú)以數(shù)字形式出現(xiàn)數(shù)值最大的。然而因?yàn)?23=8 388 608比一些可能的七位電話號(hào)碼小，所以23次提問有時(shí)是不充分的。

　　因此鮑伯的第一個(gè)提問是：“這個(gè)號(hào)碼比5 000 000大嗎？答案馬上把7位號(hào)碼中可能的號(hào)碼砍掉了一半。按這種方式繼續(xù)下去，他相信在經(jīng)過24次或少于24次的提問中，一定能找出正確的電話號(hào)碼。

　　因?yàn)楹芏嗳藳]有領(lǐng)悟到數(shù)字成倍連續(xù)增長(zhǎng)是多么快，所以他們很難相信在不多于24次這么少的提問中可以確定從1到甚至比16 000 000還大的數(shù)字中的任何一個(gè)數(shù)字。也正是由于這種增長(zhǎng)的神速才使我們能夠解釋為什么通過“對(duì)和錯(cuò)”這種提問來猜測(cè)某人正在思考什么是這樣的容易，而且此人的思考范圍可允許在任何存在的物體范圍內(nèi)。如果你對(duì)二進(jìn)制分割很熟練(比如：?jiǎn)栆恍╊愃七@樣的問題：“這是生物還是非生物？”“這是動(dòng)物還是植物？”等等)，你很可能在20次或不到20次提問中猜出比如某人正在思考自由女神頭上的皇冠等一類事情。

　　我們描述的通過24次提問猜測(cè)電話號(hào)碼的過程被計(jì)算機(jī)專家們稱為“二進(jìn)制分割”算法。一個(gè)聰明的通過顯示在圖3―1的六張卡片來速算的竅門就是以“二進(jìn)制分類”為基礎(chǔ)的。方法如下：把這些卡片遞給一個(gè)人并讓他想定從1到63的任何一個(gè)數(shù)，然后讓他給你上面有他所選數(shù)字的每一張卡片，你立刻就能識(shí)別出這個(gè)數(shù)。

　　圖3-1

　　其實(shí)秘密很簡(jiǎn)單，就是把那人給你的每一張卡片上的第一個(gè)數(shù)都加起來，所得的和就是要找的那個(gè)數(shù)。

　　這些卡片是按一個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的。這個(gè)系統(tǒng)很容易通過后面圖3―2附的把1到63按“二進(jìn)制計(jì)數(shù)法”排列來解釋。圖表左側(cè)的數(shù)字是十進(jìn)制形式，每一個(gè)的右側(cè)有它在二進(jìn)制中相應(yīng)的表示。

　　圖3-2

　　圖表表頭的6個(gè)數(shù)字是用來形成二進(jìn)制數(shù)字的2的乘方。以“1”開頭的那張“速算卡片”上面的數(shù)字依次是圖中最右一列中數(shù)值為1的行中所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制列中的所有數(shù)字。以“2”開頭的卡片上的數(shù)字包含從右數(shù)第二列是1的行中所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制列中的所有數(shù)字。其它四張卡片也同樣是通過上述過程得到。

　　通過這些“速算卡片”很容易歸納出以大于2的數(shù)字的乘方為基礎(chǔ)的另一種計(jì)數(shù)法。圖3―3說明了如何設(shè)計(jì)一系列以三進(jìn)制為基礎(chǔ)的卡片的方法。在此情形下，每個(gè)三進(jìn)制數(shù)字中可能包含0、1或2三個(gè)數(shù)。當(dāng)一個(gè)“1”在一列中出現(xiàn)時(shí)，我們把相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字在相應(yīng)的列的卡片上記一次；當(dāng)一個(gè)“2”出現(xiàn)時(shí)，我們把相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字在相應(yīng)列的卡片上記兩次。

　　圖3-3

　　圖3―4列出了3個(gè)速算卡片，用以判別從1到26中任一個(gè)被選的數(shù)，只是你無論如何要讓別人告訴你當(dāng)你遞給他每一張卡片時(shí)，他看到他選擇的數(shù)字在此卡片上出現(xiàn)一次或兩次。如果他(她)看到了兩次，那么在做加法時(shí)，你一定要把這張卡片的頭一個(gè)數(shù)字乘以2。

　　圖3-4

　　你也可能希望把這個(gè)體系延展到6張卡片。正如我們所知道的，6張二進(jìn)制的卡片的識(shí)別數(shù)的范圍是1到63，那么6張三進(jìn)制的卡片的識(shí)別數(shù)的范圍是多少呢？答案是1到728。這樣，如何歸納高于三進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)的方法就很容易理解了。比如，以4的乘方為基礎(chǔ)的一系列長(zhǎng)片，在一張卡片上一些數(shù)字可能重復(fù)兩次，另一些也可能重復(fù)三次。如果重復(fù)三次，在你做加法前，你必須把卡片的頭一個(gè)數(shù)字乘3。

　　三進(jìn)制卡片闡明了這樣一個(gè)事實(shí)：在一些方面，三進(jìn)制分類比二進(jìn)制效率高得多。如果我們總是把一系列數(shù)分成三部分而不是兩部分，并且知道哪一部分含有要找的元素，那么經(jīng)過很少幾次提問就能猜出這個(gè)元素。然而，提問方式也不再是“對(duì)或錯(cuò)”型的了。

　　三進(jìn)制分類的妙用被下面的撲克牌游戲說明得淋漓盡致。它使用任何33=27張撲克牌。某人透過撲克盒看并記下一張牌，魔術(shù)師拿出這盒牌并把它們面朝上分發(fā)成三堆，然后，這個(gè)人指出他記的牌在哪一堆里面。

　　魔術(shù)師把另兩堆牌先收在一個(gè)盒內(nèi)，然后再把觀眾指出的那堆牌分發(fā)成面朝上的三堆。這個(gè)人再指出包含他(她)記的牌的那一堆。重復(fù)第三次時(shí)，當(dāng)魔術(shù)師知道被選擇的那張牌在哪一堆后，他收起了這些堆牌并把撲克盒面朝下，放在了桌子上。當(dāng)這位觀眾說出他(她)選的那張牌時(shí)，魔術(shù)師翻開了撲克盒內(nèi)最上面的一張牌，它恰好是觀眾所選的那張。這個(gè)游戲你可以不斷重復(fù)，永遠(yuǎn)不會(huì)出錯(cuò)。

　　謎底很簡(jiǎn)單。魔術(shù)師每次收這三堆牌時(shí)都留意把包含被選擇牌的那一堆放在面朝下的撲克盒的最上部，這自然就把被選擇的牌推到了最上部。這是怎么回事并不難理解。其原理除了每次把撲克牌分成三堆與猜電話號(hào)碼時(shí)把數(shù)字分成兩部分不一樣外，其它與猜電話號(hào)碼一樣。第一次裝起牌后，被選的牌一定在最上面的九張牌內(nèi)；第二次裝起牌后，這張牌一定在最上面的三張牌間；第三次后，它一定是最上面的一張了。如果你把被選擇的卡片面朝上來瀏覽這一過程，你能看到它向上運(yùn)動(dòng)的全過程：經(jīng)過三個(gè)階段到達(dá)最上面。用上面同樣的過程，通過計(jì)算機(jī)對(duì)元素分類在現(xiàn)代化的信息重組理論上起了很大作用。