當那位偉大的印度數學家斯里尼瓦薩羅摩奴贄得了結核病住在倫敦醫院時，他的同事G．H．哈迪去看望他。這位哈迪從來就不善于激起談興，他對羅摩奴贄說：“我是乘坐出租車來的，車的牌號為1729。對我來說，這個數字似乎很枯燥，我希望它不是個兇兆。”

 

    “胡說，”羅摩奴贄回答說，“這個數字一點也不枯燥，相反它非常有趣。它是可以用兩種不同方式表示的作為兩個3次方之和的最小數。”（羅摩奴贄不知怎么立即就辨別出1729＝1³＋12³和9³＋10³。）

 

   羅摩奴贄死于1920年，年僅32歲。他是一位數論學家，是研究整數屬性的數學奇才。數論是數學中最古老的領域之一，在一定程度上說也是最簡單的領域。數當然是數學最普遍的基礎材料，然而，關于它們仍然還有許多根本問題沒有解答。

 

    公元前3世紀，當波加的阿波羅尼奧斯天真地繼續研究阿基米德的大數時，可能不知曉等待他以及數代數學家的將是什么。“我要讓你們看一看誰懂得大數，”阿基米德想。據說，他出于報復之心而虛構出關于牧牛的計算問題，解決這一問題所需的數字是如此龐大，以致直到最近才得以解決。而且，解決這一問題的并不是人而是機器：世界上最快的電腦。提出類似牧牛這類極其困難的問題只不過是阿基米德許多令人難以置信的功績之一，這些功績使他在他那個時代就成了一個傳奇式人物。公元前212年，羅馬將軍馬塞盧斯圍困了西西里的敘拉古港，該城之王希倫請求王親阿基米德驅逐60艘敵艦。阿基米德不久前發明了杠桿（他因此說了這句名言：“給我一個支點，我會搬動整個地球。”），他將杠桿和滑輪結合在一起制成巨大的吊車，這些吊車將那些入侵的戰船吊出了港口。在戰斗中，吊車還得到弩石彈射器和凸面鏡的協助，凸面鏡把陽光聚焦到船上使船著火。結果，羅馬艦隊遭到了毀滅。馬塞盧斯說：“我們不要和這個幾何怪物進行戰斗了，他拿我們的船當杯子，從海中舀水。”

 

    阿基米德使敵人3年不敢接近。后來，有一個晚上，當敘拉古人忙于宗教慶典時，羅馬士兵攀上城墻并打開城門。當馬塞盧斯的軍隊蜂擁而入時，他告訴部下說：“任何人都不得斗膽對阿基米德妄動一個手指頭，這人是我們的座上賓。”馬塞盧斯的一個士兵在庭院中找到阿基米德，其時，阿基米德正在沙地上畫幾何圖形，這位士兵違抗指令而拔出了劍。阿基米德請求說：“我的朋友，在你殺死我之前，請讓我把我的圓畫好。”這位士兵沒有等待就把劍刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地說：“他們奪走了我的軀體，但我將取走我的靈魂。”說完安然死去。

 

    按照阿基米德的愿望，人們在他的墓碑上刻了一個圓柱體，柱體里面是一個球體――象征著他的驕傲的發現：球的體積是裝下該球的最小的圓柱體體積的三分之二。

 

    這個傳說有多少是真的呢？阿基米德無疑是位機械天才。有充分證據表明他設計出能將50磅弩石拋出300英尺遠的弩石彈射器。但近來對技術史的研究排除了他建造了能從海中吊起敵船的吊車的可能性。這種神話的根據可能是他發明過一種將他自己（不動的）的船吊到岸上來的吊車式的裝置。

 

    許多科學巨匠包括加利萊奧?伽利略和法國博物學家布豐伯爵，喬治-路易斯?萊克勒都對阿基米德用鏡子焚燒敵船感興趣，它與兒童用放大鏡點燃紙片非常相似。理論上說這種鏡子是可以制造的，但它要有一個保持太陽光線聚焦于移動目標上的可變焦距，普通鏡子是做不到這一點的。（1747年，布豐聲稱用一個復雜的鏡子使150英尺遠的木頭著了火，并熔化了140英尺遠的鉛。）不管怎樣，阿基米德不會費力去制造一個特別鏡子的，因為那時已經出現了一種簡單而高效的燃燒武器：將石腦油與一種同水接觸即自動燃燒的化學物質相混合裝入罐中，人們把這種罐子擲向敵船。

 

    對阿基米德之死的生動描述可能相當真實，盡管人們會對他所說的話表示懷疑。公元前75年，偉大的羅馬演說家西塞羅來到阿基米德的墓旁，發現墓碑上刻有外切一個球的圓柱體。

 

    牛群的問題是怎么回事呢？它真是首先由阿基米德提出來的嗎？別管阿基米德是否真是出于一時賭氣而憑空想出這個問題的，人們知道他確曾推算過這個問題，因此至少有2，200年的歷史了。

 

    這個問題開始是這樣的：“啊！朋友，如果你智慧過人，那就專心致志算出那天那群公牛的數目吧。它們曾在西西里島的大平原上吃草，按毛色它們被分成4組：乳白牛、黑牛、黃牛和花斑牛。每組中的公牛數占大多數，它們之間的關系為：

 

1、白公牛=黃公牛＋（1/2＋1/3）黑公牛

2、黑公牛=黃公牛＋（1/4＋1/5）花斑

3、花斑公牛=黃公牛＋（1/6＋1/7）白公牛

4、白公牛=（1/3＋1/4）黑牛

5、黑公牛=（1/4＋1/5）花斑公牛

6、花斑公牛=（1/5＋1/6）黃牛

7、黃公牛=（1/6＋1/7）白牛

 

    該問題繼續說：“啊！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的數目，你還是稱不上無所不知或精通數字，也不能被列入智者之列。”于是該問題涉及到其數學的本質部分：解7個帶有8個未知數的等式（4組不同顏色的公牛和4組相應顏色的奶牛）。原來，這些等式并不難解。事實上，它們有無限多的答案，而牛群總頭數的最小數值為50，389，082，這些牛可以在西西里6，358，400公頃的大平原上自由自在地吃草。

 

    然而，阿基米德并未就此停止。他對公牛數目另外又提出了兩項限制條件，從而使這問題變得難多了：

 

8．白公牛＋黑公牛＝一個平方數。

9．花斑公牛＋黃公牛＝一個三角數。

 

    問題最后說：“如果你已算出這群牛的總數，噢！朋友，你儼然就是一個征服者了，不消說，你就是數字科學方面的專家了。”

 

    阿基米德的牛群問題由于采用了三角數和平方數的概念而與華達哥拉斯的工作有關。公元前6世紀，畢達哥拉斯及其追隨者用圓點布置成三角、四方或其他幾何圖形來表示數。如3、6和10這些數被稱為三角數，因為它們可由構成三角的圓點來表示

    西門從海中拽出的魚的數目153也是一個三角數。由于同樣的原因，像4，9和16這些數被稱為平方數，因為它們可以用圓點布置成正方形來表示：

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             *    *                *    *    *                    *                *

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　　不要以為古人為斷定某個特定的數是否可以由特定的幾何圓點圖形表示而耗費長時間去胡寫亂畫，要知道，解決這一問題存在一種純數的方法。所有三角數都可由連續的整數（從1開始）相加得出；如 3＝1＋2，6＝1＋2＋3，以及10＝1＋2＋3＋4。所有的平方數都可由整數的平方得出：4＝2×2，9＝3×3，及16＝4×4。

 

　　由于用三角數和平方數對公牛進行限制，牛問題變得非常棘手，兩千年里沒有取得真正的進展。1880年，一位德國研究者在經過枯燥計算之后表明：符合所有8項條件的最小的牛頭數為一個有206，545位數的數，該數是以776開頭的。阿基米德可能是一個有魔力之人，但他決不是個現實主義者：西西里小島上決不會容下這樣一群牛。正如一位數理論家所說：“即使它們是最小的微生物――不，即使它們是電子，一個以從地球到銀河的距離為半徑的圓也只能包含這種動物的很小一部分。”

 

　　但沒人認為缺乏現實感會妨礙數學研究。20年后的1899年，伊利諾斯希爾斯伯勒的一位土木工程師和他的幾位朋友組成希爾斯伯勒數學俱樂部，致力于發現余下的206，542位數。經過4年運算后，他們最后宣布，他們發現了12位最右邊的數，又另外發現了28位最左邊的數，但后來證明他們算的數都弄錯了。60年后，3位加拿大人運用計算機首次發現了全部的答案，但他們從未予以公開發表。1981年，當出自勞倫斯?利弗莫爾國家實驗室的克雷1號巨型計算機的47頁硬拷貝縮印在《趣味數學》雜志上時，全部的206，545位數才最終公布于世。

 

　　當時，克雷1號是世界上運算最快的計算機。克雷巨型計算機是昂貴的――最新型號值2，000萬美元，實驗室和公司不會買它來解決古老的數論問題。購買它是用于配制新的藥物，勘探石油，破譯蘇聯密碼，在好萊塢電影中造成輝煌的特別效果以及模擬太空武器。

 

　　然而，人們常常讓巨型計算機解決數論史上棘手的計算問題，以便證明它們是否運轉正常。計算這種問題的好處是可以輕易地對其答案――即使以前不知道這些答案――進行檢驗：將它們還原到其等式中去。阿基米德的牛群問題正是在勞倫斯?利弗莫爾實驗室檢驗克雷1號時得以解決的。這臺巨型計算機僅用10分鐘就發現了206，545位數的答案，并兩次檢驗了這一問題的運算。

 

　　讓我們以一個阿基米德曾處理過而我們也許能解決的問題來結束本節吧。希倫給金匠一定量的金子（設其重量為W）制造皇冠。當希倫收到那頂皇冠時，他請阿基米德鑒定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了一些而代之以較廉價的金屬。公元前1世紀著名的羅馬建筑師維特魯威是這樣記載的：“阿基米德反復琢磨這一問題，一天他偶然來到洗澡間，在那兒，他注意到，當他坐進浴缸里，漫出浴缸的水的數量等于他浸在浴缸中的身體所排出的水量。這一點向他暗示了解決這一問題的方法，于是他立即欣喜地跳出浴缸，光著身子向家奔去，并大聲喊著他已發現了他尋找的東西。因為當他跑的時候，他反復大聲地用希臘語叫道，我找著啦！我找著啦！”