12.64人訂A、B、C三種雜志.訂A種雜志的28人,訂B種雜志的有41人,訂C種雜志的有20人, 訂A、B兩種雜志的有10人,訂B、C兩種雜志的有12人,訂A、C兩種雜志的有12人,問三種雜志都訂的有多少人?

13.求從1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然數的個數.

14.夏日的一天,有十個同學去吃冷飲.向服務員交出需要冷飲的統計,數字如下,有6個人要可可,有5個人要咖啡,有5個人要果汁,有3個人既要可可又要果汁,有一個人既要可可、咖啡又要了果汁.

求證其中一定有一個人什么冷飲也沒有要.

———————————————答 案——————————————————————

    1.  127

從圖中可以看出:參加數學、作文競賽的總人數為312+353-292=373(人)

從而可知這兩科都沒有參加的人數為500-373=127(人).

2.  224

    3.  10.75

把兩個正方形面積加起來得2²+3²=13,但其中多算了一塊陰影部分的面積,這部分面積為1.5²=2.25(平方厘米),故兩個正方形蓋住的總面積是2²+3²-1.5²=13-2.25=10.75(cm²)

4.  15

不超過30的3的倍數有 (個),不超過30的4的倍數有 (個);不超過30的3´4=12的倍數有 (個),因此不超過30的正整數中是3的倍數,或是4的倍數的數共有10+7-2=15(個).

5.  41

如圖所示,易知總人數為(15+12-7)+21=41(人).

    6.  219

由容斥原理知,蓋住桌面的總面積為100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).

7.  23;22

8.  333

在1~1000的自然數中,2的倍數有 (個),3的倍數有 (個),2´3=6的倍數共有 (個),故是2或是3的倍數共有500+333-166=667(個),從而既不是2的倍數,又不是3的倍數的數共有1000-667=333(個).

9.  28

小于1000的自然數中,是完全平方數的有1²、2²、…,31²共31個.其中1²=1³,8²=4³,27²=9³.又是完全立方數,故符合條件的數有31-3=28(個)

10.  121

由容斥原理知,或訂“作文報”或訂“數學報”或訂“科學愛好者”的總人數為

510+330+120-270+58=748(人)

故三種報刊都沒有訂的人數為960-748=212(人).

11.        (1)如圖,用矩形表示參賽的70個學生,而用三個圓表示分別在跑、

跳、投中得獎的人.

設x為只得短跑獎的人數,y為只在短跑和彈跳兩項得獎的人數,z為只在彈跑與投擲兩項得獎的人數,u為只在投擲和短跑兩項得獎的人數.則有u=12-5=7(人),z=36-15-12=9(人),y=29-5-7=8(人),x=31-12-8=11(人).即只得短跑獎的有11人.

(2)得二次獎的人數為y+z+u=8+9+7=24(人).

(3)因至少得一次獎的人數為x+y+z+u+5+7+15=62(人),故一項獎均未得的人數為70-62=8(人).

    13.  在1~1994中,能被5整除的個數為 ;能被6整除的個數為 ;能被7整除的個數為 ;能被5´6=30整除的個數為 ;能被5´7=35整除的數為 ;能被6´7=42整除的個數為 ;能被5´6´7=210整除的個數為 .

根據容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的數的個數為:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,從而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然數的個數為1994-854=1140(個).

14.  要了冷飲的總人數為6+5+5-3-2-3+1=9(人),但總人數為10人,故一定有一個人什么冷飲也沒有要.