14.設(shè) …, 是任意互異的12個(gè)整數(shù),試證明其中一定存在8個(gè)整數(shù) …, ,使得: 恰是1155的倍數(shù).

———————————————答 案——————————————————————

1.  6

將42名同學(xué)看成42個(gè)抽屜,因?yàn)?span lang="EN-US">212=5´42+1,故至少有一個(gè)抽屜中有6本或6本以上的書(shū).

2.  18

因210=17´12+16,故一定有18個(gè)或18個(gè)以上同學(xué)在同一月出生.

3.  2

這40名同學(xué)的年齡最多相差36個(gè)月(三年)因40=1´36+4,故必有2人是同年、同月出生的.

4.  5

從極端考慮:即使先取走取的4個(gè)球都是不同色的,那么取第5個(gè)球時(shí)就必有二球同色了.

5.  21

將球按顏色分成4類(lèi),每次各取5個(gè)時(shí),也無(wú)6球同色,故應(yīng)取(6-1)´4+1=21(個(gè))球,才能保證一定有6球同色.

    6.  21

將布袋中的木塊按編號(hào)分成60¸6=10(類(lèi))要保證其中某一類(lèi)至少有三個(gè),至少應(yīng)拿出(3-1)´10+1=21(塊).

7.  6

每箱數(shù)目是120~144,共有25種可能.因126=5´25+1,故至少有5+1=6(個(gè))裝相同蘋(píng)果數(shù)的箱子,即n最小為6.

8.  11

當(dāng)摸出10根時(shí),可能是8根黑筷,白筷,紅筷各一根,沒(méi)有“不同顏色的二雙”.當(dāng)摸出11根時(shí),至多有8根屬于同一顏色,那么另3根中至少有二根是同色的.

9.  23

當(dāng)摸出22只球時(shí),可能有9對(duì)同色球,但剩余四球分別為紅、藍(lán)、黃、白各一只,達(dá)不到10對(duì),另一方面,每摸出5個(gè)球,就會(huì)出現(xiàn)一對(duì)同色球,將這一對(duì)挪開(kāi),再摸出兩個(gè)球,就必然會(huì)又出現(xiàn)一對(duì)紅色球,如此下去,摸出23只球就能保證有10對(duì)同色球.

10.  11

兩支筆的種類(lèi)可分為同色與異色.同色的有4種,異色的有3+2+1=6種,為了保證至少有兩次抓到筆的種類(lèi)完全相同,至少要抓1´10+1=11(次).

11.  瀏覽一個(gè)地方的,有3種,瀏覽二個(gè)地方的,有3種,瀏覽三個(gè)地方的,有1種,一個(gè)地方也不去的,有1種,共有8種方式.故至少有 (人).瀏覽的地方是完全相同的.

12.  給出的數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列,它一共有25個(gè)數(shù),將這25個(gè)組分成13組: .

在這25個(gè)數(shù)中任取14個(gè)數(shù)來(lái),必有二數(shù)屬于上述13組中的同一組,故這一組二數(shù)之和是102.

13.         如圖,將三角形三邊中點(diǎn)連結(jié)起來(lái),就將原三角形分成了四個(gè)小三角

形, 其邊長(zhǎng)均為 ,在原三角形內(nèi),任意給5個(gè)點(diǎn),其中至少有兩點(diǎn)在同一個(gè)小三角形內(nèi),這兩點(diǎn)的距離小于小三角形的邊長(zhǎng) .

    14.  對(duì)1155分解質(zhì)因數(shù)得1155=3´5´7´11.

在所給的12數(shù)中,必有2數(shù)除以11,余數(shù)相同,設(shè)這2數(shù)為x₁,x₂,則(x₁-x₂)是11的倍數(shù).

在剩下的數(shù)中,必有2數(shù)除以7,余數(shù)相同,設(shè)這2數(shù)為x₃,x₄,則(x₃-x₄)是7的倍數(shù).

在剩下的8數(shù)中,必有2數(shù)除以5,余數(shù)相同,設(shè)這2數(shù)為x₅,x₆,則(x₅-x₆)是5的倍數(shù).

在剩下的6數(shù)中,必有2數(shù)除以3,余數(shù)相同,設(shè)這二數(shù)為x₇,x₈,則(x₇-x₈)是3的倍數(shù).

故存在8個(gè)數(shù)x₁,x₂,…x₈,使(x₁-x₂) (x₃-x₄) (x₅-x₆) (x₇-x₈)是1155的倍數(shù).