14.能否在8´8的棋盤上的每一個空格中分別填入數字1,或2,或3,要使每行、每列及兩條對角線上的各個數字之和互不相同?請說明理由.

———————————————答 案——————————————————————

    1.  2

因為每個人至少有1個朋友,至多有99個朋友,將有1個朋友的人,2個朋友的人,…,99個朋友的人分成99類，在100個人中,總有兩個人屬于同一類,他們的朋友個數相同.

2.  (1)3;(2)636

因為1999年有365天,故在1999年出生的孩子至少有 (個)孩子的生日相同;

又因為1000-(365-1)=363,即至少有363個孩子將來不單獨過生日.

3.  91

當摸出的2個球顏色相同時,可以有4種不同的結果;當摸出的2個球顏色不同時,最多可以有3+2+1=6(種)不同結果.一共有10種不同結果.

將這10種不同結果看作10個抽屜,因為要求10次摸出結果相同,故至少要摸9´10+1=91(次).

4.  4;7

將三種不同顏色看作3個抽屜,對于第一問中為保證一次取到2顆相同顏色的珠子,一次至少要取1´3+1=4(顆)珠子.

對于第二問為了保證一次取到兩種不同顏色珠子各2顆,一次至少要取4+(1´2+1)=7(顆)珠子.

5.  1

將1~12這十二個數組成 這六對兩數差為6的數組.任取7個數,必定有兩個數差在同一組中,這一對數的差為6.

6.  267

將4千萬人按頭發的根數進行分類:0根,1根,2根…,150000根共150001類.

因為40000000=(266´150001)+99743>266´150001,故至少有一類中的人數不少于266+1=267(個),即該省至少有267個人的頭發根數一樣多.

7.  7

將每10塊顏色相同的木塊算作一類,共3類.把這三類看作三個抽屜,而現在要保證至少有三塊同色木塊在同一抽屜中,那么至少要有2´3+1=7(塊).

8.  29

將4種花色看作4個抽屜,為了保證取出3張同色花,那么應取盡2個抽屜由的2´13張牌及大、小王與一張另一種花色牌.計共取2´13+2+1=29(張)才行.

9.   9

將5個同學投進的球作為抽屜,將41個球放入抽屜中,至少有一個抽屜中放了9個球,(否則最多只能進5´8=40個球).

10.  6

訂閱報刊的種類共有7種:單訂一份3種,訂二份3種,訂三分1種.將37名學生依他們訂的報刊分成7類,至少有6人屬于同一類,否則最多只有6´6=36(人).

11.  將整數的末位數字(0~9)分成6類:

在所給的7個整數中,若存在兩個數,其末位數字相同,則其差是10的倍數;若此7數末位數字不同,則它們中必有兩個屬于上述6類中的某一類,其和是10的倍數.

不妨設A、B、C三點邊長為 的小正方形EFGH內,由于三角形ABC的面積不大于小正方形面積EFGH的 ,又EFGH的面積為 .故三角形ABC的面積不大于 .

13.  考慮最極端的情況,有3個小朋友分到1本,有3個小朋友分到2本,…,有3個小朋友分到16本,最后兩個小朋友分到17本,那么一共至少要

3´(1+2+3+…+16)+2´17=442(本),而442>420,故一定有4個小朋友分了同樣多的書.

14.  注意到8行、8列及兩對角線共有18條“線”,每條線上有8個數字,要使每條線上的數字和不同,也就是需要每條線上的數字和有18種以上的可能.

但我們填入的數只有1、2、3三種,因此在每條線上的8個數字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(種).

故不可能使得每行,每列及兩條對角線上的各個數字之和互不相等.