11.17個(gè)科學(xué)家互相通信,在他們的通信中共討論3個(gè)問(wèn)題,而任意兩個(gè)科學(xué)家之間僅討論1個(gè)問(wèn)題.證明:至少有3個(gè)科學(xué)家,他們彼此通信討論的是同一個(gè)問(wèn)題.

12.用一批1´2´4的長(zhǎng)方體木塊,能不能把一個(gè)容積為6´6´6的正方體木箱充塞填滿?說(shuō)明理由.

13.在平面上有一個(gè)27´27的方格棋盤,在棋盤的正中間擺好81枚棋子,它們被罷成一個(gè)9´9的正方形.按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)相鄰的棋子,放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過(guò)的這格棋子取出來(lái).問(wèn):是否存在一種走法,使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子?

14.12´12的超極棋盤上,一匹超級(jí)馬每步跳至3´4矩形的另一角(如圖).問(wèn)能否從任一點(diǎn)出發(fā)遍歷每一格恰一次,再回到出發(fā)點(diǎn)(這種情況又稱馬有“回路”)?

———————————————答 案——————————————————————

    1.  不能.對(duì)房間染色,使最下面的兩個(gè)房間染成黑色,與黑色相鄰的房染成白色,則圖中有7個(gè)黑色房間和5個(gè)白色房間.如果要想不重復(fù)地走過(guò)每一個(gè)房間,黑色與白色房間數(shù)應(yīng)該相等.故題中的想法是不能實(shí)現(xiàn)的.

    2.  不能.對(duì)展室進(jìn)行染色,使相鄰兩房間分別是黑色和白色的.此時(shí)入口處展室的顏色與出口處展室的顏色是相同的,而不重復(fù)參觀完36個(gè)展室,入口與出口展室的顏色應(yīng)該不相同.

    3.  不能.對(duì)這16個(gè)城市進(jìn)行黑白相間的染色,一種顏色有9個(gè),另一種顏色有7個(gè).而要不重復(fù)地走遍這16個(gè)城市,黑色與白色的個(gè)數(shù)應(yīng)該相等.

    4.  如圖,對(duì)4´n長(zhǎng)方形的各列分別染上黑色和白色.任一L形紙片所占的方格只有兩類:第一類占3黑1白,第二類占3白1黑.

設(shè)第一類有a個(gè),第二類有b個(gè),因?yàn)橥坑袃煞N顏色的方格數(shù)相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是說(shuō)第一類與第二類相等,因此各種顏色的方格數(shù)都是4的倍數(shù),總數(shù)是8的倍數(shù),從而n是偶然.

5.  將棋盤黑白相間染色,由“馬”的走法可知,放在黑點(diǎn)上的“馬”,只能吃放在某些白點(diǎn)上的馬.整個(gè)棋盤上黑、白點(diǎn)的個(gè)數(shù)均為45,故可在45個(gè)黑點(diǎn)放上馬,它們是不能互吃的.

6.  如圖的方式對(duì)棋盤染色.那么一個(gè)田字形蓋住1個(gè)或3個(gè)白格,而一個(gè)4´1的矩形蓋住2個(gè)白格.這樣一來(lái)一個(gè)田字和15個(gè)4´1的矩形能蓋住的白格數(shù)是一個(gè)奇數(shù),但上圖中的白格數(shù)是一個(gè)偶數(shù),因此一個(gè)田字形和15個(gè)4´1的矩形不能復(fù)蓋8´8的棋盤.

7.  將棋盤里黑白相間涂色.一個(gè)田字形蓋住2個(gè)白格,一個(gè)T字形蓋住3個(gè)或1個(gè)白格.故1個(gè)田字和15個(gè)T字蓋住的白格數(shù)是一個(gè)奇數(shù),但棋盤上的白格數(shù)是一個(gè)偶數(shù).因此一個(gè)田字形和15個(gè)T字形不能蓋住8´8的棋盤.