十一、不定方程（一）

            年級      班      姓名      得分    

一、填空題

    1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然數,那么□=        .

    2.數學測試卷有20道題.做對一道得7分;做錯一道扣4分;不答得0分.張紅得了100分,她有     道題沒答.

    3.x是自然數, ,字母a表示一個數字,x是         .

    4.不定方程 的整數解是         .

    5.某青年1997年的年齡等于出生年份各數字的和,那么,他的出生年份是      .

6.如果在分數 的分子分母上分別加上自然數a、b,所得結果是 ,那么a+b的最小值等于        .

7.40只腳的蜈蚣與3個頭的龍同在一個籠子中,共有26個頭和298只腳,若40只腳的蜈蚣有1個頭,那么3個頭的龍有        只腳.

8.甲、乙兩個小隊的同學去植樹.甲小隊一人植樹6棵,其余每人都植樹13棵;乙小隊有一人植樹5棵,其余每人都植樹10棵.已知兩小隊植樹棵數相等,且每小時植樹的棵數大于100而不超過200,那么甲、乙兩小隊共有       人.

9.小明用5天時間看完了一本200頁的故事書.已知第二天看的頁數比第一天多,第三天看的頁數是第一、二兩天看的頁數之和,第四天看的頁數是第二、三兩天看的頁數之和,第五天看的頁數是第三、四兩天看的頁數之和.那么,小明第五天至少看了

        頁.

10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的時候,一個大猴子一小時可采摘15公斤,一個小猴子一小時可采11公斤;猴王在場監督的時候,大猴子的 和小猴子的 必須停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小時,其中只有第一小時和最后一小時有猴王在場監督,結果共采摘3382公斤水密桃,那么在這個猴群中,大猴子共有      個.

二、解答題

    11.今有公雞每只五個錢,母雞每只三個錢,小雞每個錢三只.用100個錢買100只雞,問公雞、母雞、小雞各買了多少只?

12.某地收取電費的標準是:每月用電不超過50度,每度收5角;如果超過50度,超出部分按每度8角收費.某月甲用戶比乙用戶多交3元3角電費,這個月甲、乙各用了多少度電?

13.哲洙替爸爸買了50張圣誕節卡片.他先到“甲”文具店去買了幾張每張500分錢的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去買了.“乙”文具店的一張卡價格是以每百分為單位,且小于2000分.哲洙買了50張卡片共花了30400分.請你寫出他在“乙”文具店買的卡片數量的所有可能情形.

14.現有兩小堆小石頭,如果從第一堆中取出100塊放進第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果從第二堆中取出一些放進第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.問第一堆中可能的最少石頭塊數等于多少?并在這種情況下求出第二堆的石頭塊數.

———————————————答 案——————————————————————

1.  1998.

提示: △是小于4的奇數,檢驗△=1或3兩種情況即可.

2.  1.

設張紅做對x道題,做錯y道題,依題意得:

            ①

所以  ≥ .

又    x+y≤20           ②

所以  x≤20-y≤20,

故    ≤x≤20.

又4|4 y,4|100,由①知4|7 x,又4與7互質,所以4| x,故 x=16或20.

當x=20時,由①得y=10,與②產生矛盾.

因此x=16,代入①得y=3.張紅共有20-x-y=1(道)題沒做.

3.  750.

根據題意, ,整理得,

  .

因為x為自然數,37是質數,所以4a+1一定能被37整除,

推知a=9,因此 .

4.  沒有整數解.

若方程有整數解,則 , ,因此 ,且3|17,產生矛盾,因此原方程沒有整數解.

5.  1975.

設他出生年份為 ,依題意,得:

整理得:

所以  

由0≤b≤9得 ≤  ≤ ,即 ≤a≤ .

故a=7,從而b=5,他出生于1975年.

6.  24.

依題意,有 ,

于是可得12(28+a)=7(43+b)

即       12a+35=7b        ①

顯然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.

由①知, b隨a增大而增大,所以a取最小值7時, b也取最小值,是17.

所以, a+b的最小值是7+17=24.

7.  14.

設有x只蜈蚣,y只三頭龍,每只三頭龍有n只腳,依題意得方程組:

①×40-②,得 ,即

      ③

由于x和y都是正整數,從①式得y≤8.又因為 ,

所以從③式得y=7, ,由此得n=14.

8.  32.

設甲小隊有x人,乙小隊有y人.由兩小隊植樹棵數相等,得到

     13 x-7=10 y-5.

因為上式右端個位數為5,所以13x的個位數應是2,得到x=4, y=5是上式的一組解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.

為使10y-5在100與200之間,只有y =5+13=18,所以乙小隊有18人,甲小隊有4+10=14(人),共有18+14=32(人).

9.  84.

設小明第一天看了a頁,第二天看了b頁,則前五天看的頁數依次為:

     a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.

上面各個數的和是200,得到

     5a+7b=200.

因為5a與200都是5的倍數,所以b是5的倍數.因為b>a,所以上式只有兩組解:

     b=20, a=12; b=25, a=5.

將這兩組解分別代入2a+3b,得到第五天至少看了84頁.

10.  15.

     以5只大猴子為一組,根據題意,一組大猴子這天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子為一組,這天可采摘11×38(千克).設有大猴子x組,小猴子y組,則有

     ,

         .

易知其整數解為x=3, y=4,所以有大猴子5×3=15(只).

11.  設公雞、母雞、小雞各買x, y, z只,由題意列方程組:

    3×①-②整理得    .

    又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.

又 ≤ .

所以x=4,8或12.

    x=4時,y=18, z=78; x=8時,y=11,z=81; x=12時,y=4,z=84.

即可能有三種情況:4只公雞,18只母雞,78只小雞;或8只公雞,11只母雞,81只小雞;12只公雞,4只母雞,84只小雞.

12.  因為33既不是5的倍數又不是8的倍數,所以甲用電超過50度,乙用電不足50度.設甲用電(50+x)度,乙用電(50- y)度.因為甲比乙多交33角電費,所以有:

     8x+5y=33.

     容易看出x=1時,y=5.推知甲用電51度,乙用電45度.

13.  設哲洙在乙文具店買了x張卡片,花了 100分.由共花錢數可列方程

     整理得  

     因為x是小于50的54的約數,則x與y的關系如下表:

     因為乙文具店一張卡片的價格小于2000分,推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.

14.  設第一堆有x塊石頭,第二堆有y塊石頭,并設z為從第二堆取出放進第一堆的塊數,由題意:

由①得   .

代入②整理得  .

所以   .

又x,z自然數,所以11|z+1,

當z=10時, x有最小值,此時x=170,y=40,即第一堆中最少有170塊.在這種情況下,第二堆40塊.