三、定義新運算（二）

            年級      班      姓名      得分    

一、填空題

    1.規定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5=        .

2.如果a△b表示 ,例如3△4 ,那么,當a△5=30時, a=          .

3.定義運算“△”如下:對于兩個自然數a和b,它們的最大公約數與最小公倍數的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據上面定義的運算,18△12=         .

    4.已知a,b是任意有理數,我們規定: a⊕b= a+b-1, ,那么            .

5.x為正數,<x>表示不超過x的質數的個數,如<5.1>=3,即不超過5.1的質數有2,3,5共3個.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是        .

    6.如果a⊙b表示 ,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當x⊙5比5⊙x大5時, x=        .

    7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=        .

8.我們規定:符號○表示選擇兩數中較大數的運算,例如:5○3=3○5=5,符號△表示選擇兩數中較小數的運算,例如:5△3=3△5=3.

    9.規定一種新運算“※”: a※b= .如果(x※3)※4=421200,那么x=           .

10.對于任意有理數x, y,定義一種運算“※”，規定:x※y= ,其中的 表示已知數,等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數值是         .

二、解答題

11.設a,b為自然數,定義a△b .

    (1)計算(4△3)+(8△5)的值;

(2)計算(2△3)△4;

(3)計算(2△5)△(3△4).

12.設a,b為自然數,定義a※b如下:如果a≥b,定義a※b=a-b,如果a<b,則定義a※b= b- a.(1)計算:(3※4)※9;(2)這個運算滿足交換律嗎?滿足結合律嗎?也是就是說,下面兩式是否成立?①a※b= b※a;②(a※b)※c= a※(b※c).

    13.設a,b是兩個非零的數,定義a※b .

(1)計算(2※3)※4與2※(3※4).

    (2)如果已知a是一個自然數,且a※3=2,試求出a的值.

14.定義運算“⊙”如下:

對于兩個自然數a和b,它們的最大公約數與最小公倍數的差記為a⊙b.

比如:10和14,最小公倍數為70,最大公約數為2,則10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值.

———————————————答 案——————————————————————

1.  100.

因為2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.

2.  8.

依題意,得 ,解得 .

3.  42.

18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

4.  98.

    原式

5.  11.

<19>為不超過19的質數,有2,3,5,7,11,13,17,19共8個.<93>為不超過的質數,共24個,易知<1>=0,所以

原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

6.  6.

x⊙5-5⊙x=(3 x-2×5)-(3×5-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.

7.  45678.

8.  .

因為 ○ ○ ,0.625△ △ ,

△ △ , ○ ○ ,

所以,原式 .

9.  2.

令x※3=y,則y※4=421200,

又421200 ,

所以y=24,即x※3=24.

又24= ,故x=2.

10.  4.

     由題設的等式x※y= 及x※m=x(m≠0),得

       ,

     所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.

     由1※2=3,2※3=4,得   解得a=5,c=1.

     所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.

11.  (1)原式 ;

     (2)原式 △4=7△4= ;

     (3)原式 △ △13

            .

12.  (1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;

     (2)因為表示a※b表示較大數與較小數的差,顯然a※b= b※a成立,即這個運算滿是交換律,但一般來說并不滿足結合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.

13.  (1)按照定義有2※3 ,3※4 .

        于是(2※3)※4 ※4= .

         2※(3※4)=2※ .

     (2)由已知得      ①

        若a≥6,則 ≥2,從而 與①矛盾.因此a≤5,對a=1,2,3,4,5這5個可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.

14.  (1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數和最大公約數分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.

     (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數,則c整除a,b的最大公約數,顯然c也整除a,b最小公倍數,所以c整除最小公倍數與最大公約的差,即c整除a⊙b.

       如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數,再由c整除a⊙b推知, c整除a,b的最大公約數,而這個最大公約數整除b,所以 c整除b.

     (3)由于運算“⊙”沒有直接的表達式,解這個方程有一些困難,我們設法逐步縮小探索范圍.

        因為6與x的最小公倍數不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數,可見6和x的最小公倍數是30,因此它們的最大公約數是30-27=3.

        由“兩個數的最小公倍數與最大公約數的積=這兩個數的積”,得到 .

        所以 .