數學故事——未解開的數學奧秘

　　數學的確提出了大量問題。事實上，數學和問題是分不開的。歷史證明，數學概念成了數學問題的催化劑，數學問題又激發了許多數學概念和數學發現。古代三大不可能作圖題①、柯尼斯堡橋問題②和平行公設問題③是歷史上已經得到解決并在解決過程中激發數學思維、概念和發現的典型問題。提出數學問題，思考數學問題，細閱答案證明，是推動數學家前進的動力。

　　下面是幾個著名的“未解決”數學問題：

　　未解決的素數問題

　　·有沒有一個公式或一種試驗方法可用來確定一個給定數是否素數？

　　·是否有無窮多對孿生素數？一對孿生素數是一對相鄰素數，它們的差是2。例如3和5，因為5－3＝2。還有如5和7，11和13，41和43。

　　·奇完滿數之謎。如果一個數等于它的全部真因數的和，則這數稱為完滿數（真因數即除本身以外的因數）。6是偶完滿數的例子，因為6＝1＋2＋3。其他例子有28、496和8128。約公元前300年，歐幾里得證明，如果2n－1是素數，則2n－1（2n－1）是完滿數。然后在18世紀，倫哈德·歐拉證明任何偶完滿數必然符合歐幾里得的式子。例如8128＝26（27－1）。

　　但是奇完滿數仍是一個謎。至今為止，沒有人發現過一個奇完滿數，也沒有人證明所有完滿數都是偶數。

　　哥德巴赫猜想

　　每一個大于2的偶數都是兩個素數的和嗎？

　　1742年，德國數學家克里斯琴·哥德巴赫（1690～1764）給倫哈德·歐拉（1707～1783）寫了這樣一個猜想：除2以外的每一個偶數都是兩個素數的和。例：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝7＋5.雖然哥德巴赫的這一猜想被相信是對的，但是還沒有人作出過證明。至今為止，已獲得了下述成果：1931年，蘇聯數學家施尼雷爾曼思路清晰地證明了任何偶數可被寫成不多于300000）個素數的和——這與兩個素數離得太遠了；伊凡M．維諾格拉多夫（1891～1983）證明所有足夠大的奇整數都是三個素數的和；1973年，陳景潤證明每一足夠大的偶數都是一個素數與一個或是素數或是僅有兩個素因數的數之和。

　　費馬大定理

　　在17世紀，皮埃爾·德·費馬（1601～1665）在他的一本書的邊上寫道——

　　把一個立方數分成兩個立方數，把一個四次方數或一般地任何超過二的高次方數分成兩個同次方數，都是不可能的，對此我肯定已經獲得一個絕妙的證明，但是邊上地位太窄，寫不下。

　　這定理可重述為：如果n是大于2的自然數的話，不存在任何正整數x、y、z能使xn＋yn＝zn.費馬的注成了一個挑戰。幾世紀以來，甚至最卓越的數學家都沒能作出證明或反證。

　　下一節將提供另外的背景，并討論有關費馬大定理的最新消息。由于力圖證明費馬大定理而得到的某些發現也許比這定理本身更重要。

　　研究尚未解決的數學思想，與探討已知的東西同樣有趣。這里不過是數學的未解之謎中的一點小小的樣品。雖然有些問題很簡單，可以講給沒有數學背景的人聽，但它們的解卻是難以捉摸的。

　　①只許用直尺和圓規求解的古代三大不可能作圖解是：三等分一個角（把一個角分成相等的三個角）、倍立方（作一立方體，使它的體積是一給定立方體的兩倍）、化圓為方（作一正方形，使它的面積與一給定圓相等）。由這三個問題刺激發展起來的幾個發現是尼科米茲的蚌線、阿基米德的螺線和希庇亞斯的割圓曲線。

　　②柯尼斯堡橋問題的要求是找出一條通過柯尼斯堡七座橋的路線，其中任何一座橋都只許經過一次。歐拉在解這問題時發展了網絡的概念。

　　③平行公設涉及的是確定歐拉的第五公設究竟是不是公設而非定理。試圖證明這一公設的各種努力，導致了非歐幾何的發現。