第六屆數學競賽 之 決賽試題附錄答案
來源：小數報 2008-11-04 11:46:04
（滿分120分）
一、計算題（能用簡便方法計算的，要用簡便算法。每題4分，共12分。）
2. 77×13+255×999+510
二、填空題（1～9題每空 4分，10～12題每空 3分，共 54分。）
1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整數部分是____。
2.1995的約數共有____。
3.等式“學學×好好+數學=1994”，表示兩個兩位數的乘積，再加上一個兩位數，所得的和是1994。式中的“學、好、數”3個漢字各代表3個不同數字，其中“數”代表____。
4.如圖1，“好、伙、伴、助、手、參、謀”這7個漢字代表1～7這7個數字。已知3條直線上的3個數相加、2個圓圈上3個數相加所得的5個和都相等。圖中間的“好”代表____。
5.農民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網建一個靠墻的長方形雞窩（如圖2）。為了防止雞飛出，所建雞窩高度不得低于2米。要使所建的雞窩面積最大，BC的長應是米。
7.小胡和小涂計算甲、乙兩個兩位數的乘積，小胡看錯了甲數的個位數字，計算結果為1274；小涂看錯了甲數的十位數字，計算結果為819。甲數是____。
8.1994年“世界杯”足球賽中，甲、乙、丙、丁4支隊分在同一小組。在小組賽中，這4支隊中的每支隊都要與另3支隊比賽一場。根據規定：每場比賽獲勝的隊可得3分；失敗的隊得0分；如果雙方踢平，兩隊各得1分。已知：
（1）這4支隊三場比賽的總得分為4個連續奇數；
（2）乙隊總得分排在第一；
（3）丁隊恰有兩場同對方踢平，其中有一場是與丙隊踢平的。
根據以上條件可以推斷：總得分排在第四的是____隊。
9.一塊空地上堆放了216塊磚（如圖3），這個磚堆有兩面靠墻。現在把這個磚堆的表面涂滿石灰，被涂上石灰的磚共有____塊。
10.南方某城市的一家企業有90％的員工是股民，80％的員工是“萬元戶”，60％的員工是打工仔。那么，這家企業的“萬元戶”中至少有____％是股民；打工仔中至少有____（填一個分數）是“萬元戶”。
11.方格紙（圖4）上有一只小蟲，從直線 AB上的一點 O出發，沿方格紙上的橫線或豎線爬行。方格紙上每小段的長為1厘米。小蟲爬過若干小段后仍然在直線AB上，但不一定回到O點。如果小蟲一共爬過2厘米，那么小蟲的爬行路線有____種；如果小蟲一共爬過3厘米，那么小蟲爬行的路線有____。
12.自然數按一定的規律排列如下：
從排列規律可知，99排在第____行第____列。
三、應用題（第1題5分，第2～6題每題7分。共40分。）
1.如圖5，AF=2FB，FD=2EF，直角三角形ABC的面積是36平方厘米，求平行四邊形EBCD的面積。
2.利民商店從日雜公司買進一批蚊香，然后按希望獲得的純利潤，每袋加價40％定價出售。但是，按這種定價賣出這批蚊香的90％時，夏季即將過去。為加快資金周轉，商店以定價打七折的優惠價，把剩余蚊香全部賣出。這樣，實際所得純利潤比希望獲得的純利潤少了15％。按規定，不論按什么價錢出售，賣完這批蚊香必須上繳營業稅300元（稅金與買蚊香用的錢一起作為成本）。問利民商店買進這批蚊香用了多少元？
3.李老師從數學興趣小組調出1名女生到英語興趣小組后，剩下的同學
4.園林工人要在周長300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹。他們先沿著花壇的邊每隔3米挖一坑，當挖完30個坑時，突然接到通知：改為每隔5米栽一棵樹。這樣，他們還要挖多少個坑才能完成任務？
5.一個學雷鋒小組的大學生們每天到餐館打工半小時，每人可掙3元錢。到11月11日，他們一共掙了1764元。這個小組計劃到12月9日這天掙足3000元，捐給“希望工程”。因此小組必須在幾天后增加一個人。問：增加的這個人應該從11月幾日起每天到餐館打工，才能到12月9日恰好掙足3000元錢？
6.有男女運動員各一名在一個環形跑道上練長跑，跑步時速度都不變，男運動員比女運動員跑得稍快些。如果他們從同一起跑點同時出發沿相反方向跑，那么每隔25秒鐘相遇一次。現在，他們從同一起跑點同時出發沿相同方向跑，經過13分鐘男運動員追上了女運動員，追上時，女運動員已經跑了多少圈？（圈數取整數）
四、簡答題（共5分）
1.在555555的倍數中，有沒有各位數字之和是奇數的？（3分）
2.如果有，請舉出一個例子；如果沒有，請說明理由。（2分）
五、作圖題（共9分）
1.右圖是一個直角梯形。請你畫一條線段，把它分成兩個形狀相同面積相等的四邊形。（請標明表示線段位置的數據及符號或寫出畫法）。（4分）
2.下面5個圖形都具有兩個特點：（1）由4個連在一起的同樣大小的正方形組成；（2）每個小正方形至少和另一個小正方形有一條公共邊。我們把具有以上兩個特點的圖形叫做“俄羅斯方塊”。
如果把某個俄羅斯方塊在平面上旋轉后與另一個俄羅斯方塊相同（比如上面圖中的B與E），那么這兩個俄羅斯方塊只算一種。
除上面4種外，還有好幾種俄羅斯方塊，請你把這幾種都畫出來。（5分）
詳解與說明
一、計算題
說明：本題由編輯部提供。據第11冊課本復習題改編。
2.77×13+255×999+510
解法一：77×13+255×999+510
=1001+255×999+255×2
=1001+255×（999+2）
=1001×（1+255）
=256256
解法二：77×13+255×999+510
=1001+255×（1000-1）+510
=1000+1+255×1000-255+510
=1000×（1+255）+255+1
=256000+256
=256256
說明：本題由編輯部提供。據第275期第1版《接二連三的趣味》一文1001的性質設計。
說明：編輯部供題。見第289期“奧林匹克學校?自己練”。
二、填空題
1.解法一：a=（9-0.2）+（9-0.02）+（9-0.002）+（9-0.0002）+
（9-0.00002）
=45-0.22222
=44.77778
解法二：a＞8.8×5=44
a＜9×5=45
44＜a＜45
答案：44。
說明：編輯部供題。據第285期、第295期“小讀者園地”中的問題改編。
2.解：1995=3×5×7×19，由乘法原理可知，1995的約數有
（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16（個）
答案：16個。
說明：編輯部供題。據第298期“奧林匹克學校?教練員提示語”和第302期“奧林匹克學校?自己練（4）”改編。
3.解：“學學”、“好好”一定都是11的倍數，從而它們的積一定是121（=11×11）的倍數。
1994÷121=16…58
58即“數學”。
答案是5。
說明：編輯部供題。見第287期“新年趣題?數學小狗”。
4.解：由3條直線上3個數和相等可知：
1+2+3+4+5+6+7+2×好=3a
從而，好=1或4、或7。
但是由于圓圈上三個數之和也相等，所以，“28-好”一定可均分為2份（必是偶數）。因此，好=4。
答案是4。
說明：劉后一供題。見第324期第4版《七色光芒（四）》。
5.解：設B、C關于AD的對稱點分別為B′，C′，則AB=AB′，DC=DC′，長方形BB′C′C的面積是長方形ABCD面積的2倍。只要長方形BB′C′C面積最大，長方形ABCD的面積就能最大。只有當BB′=BC時，長方形BB′C′C面積才最大，這時
AB=CD
1.2×20÷（1＋1＋2）=6（米）
BC=6×2=12（米）
答案是12。
說明：編輯部供題。據第308期“奧林匹克學校”例3改編。
由于小數點后第100位上的數字，即是“6”后面第99位上的數字，所以，由“99÷6=16……3”可知，小數點后第100位上的數字，即是循環節中左起第3個數字。
答案是8。
說明：編輯部供題。據第291期“奧林匹克學校自己練（1）”改編。
7.解：由于小胡和小涂都沒有看錯乙數，所以，乙數是1274和819的公約數。
1274=2×7×7×13
819=3×3×7×13
1274與819的公約數有1，7，13，91這四個。但是由“乙數是兩位數”，可排除1和7；又由“小涂看錯了的甲數也是兩位數”，可排除91（不然的話，小涂看錯了的甲數只能是一位數9）。因此，乙數必定是13。
根據乙數是13，可知小胡看錯了的甲數是
1274÷13=98（8是看錯的）
小涂看錯了的甲數是
819÷13=63（6是看錯的）
因此，甲數是93。
答案是93。
說明：編輯部供題。據第257期“教你思考”《抓不變量》中例題改編。
8.解：（1）這4個連續奇數必為1，3，5，7，如果不是，只有3，5，7，9可能，這樣第一名得9分（三場全勝），第二名最多得6分（勝兩場），而不是7分。矛盾。所以，乙隊得7分，而且一定是“2勝1平”。或者由每場雙方得分之和最多3分，最少2分，所以，4支隊共比6場，6場的總分A滿足。
12≤A≤18
但是當4個奇數為3、5、7、9時，A=24，不在上面的范圍內，所以，4個奇數為1、3、5、7。
（2）由于丁隊有兩場踢平（已得2分），另一場必勝（得3分）。不然的話就是敗，總分2分與“奇數”的條件矛盾。所以，丁隊“2平1勝”，得5分。
（3）由于丁隊一場未敗，所以，敗給乙隊的一定是甲隊與丙隊。
（4）丙隊不可能排第三（得3分）。這是因為它與乙、丁兩隊比的兩場是“1平1敗”，得1分，而把甲隊打勝打平都不可能得2分。
所以，丙隊一定排在第四。
答案是“丙”。
說明：編輯部供題。據“奧林匹克學校第24講例4”及94世界杯足球賽小組賽成績設計。
9.解：如下圖，把這個磚堆分成9垛：
容易算出，這9垛的第1層（最上層）的磚都被涂上了石灰，這些磚共有
4×3×3=36（塊）
從第二層開始，僅有A、B、C、D、E這5垛的磚被涂上石灰，而且每層塊數相同，都是
（1+4）×2+4=14（塊）
這個磚堆中被涂上石灰的磚共有
36+14×5=106（塊）
答案是106。
說明：編輯部供題。據第249期“趣題巧解”設計。
10.解：根據題意，可假設該企業共有員工100人（也可假設為1000人，10000人……），那么，這個企業有
90人 是 股民
80人 是 “萬元戶”
60人 是 打工仔
也就是說，這個企業中
100-90=10（人）不是股民
100-80=20（人）不是“萬元戶”
因此，是“萬元戶”的80人中，最多有10人不是股民，從而他們當中至少有
80-10=70（人）
是股民，他們占全體“萬元戶”的
70÷80×100％=87.5％
同樣道理，是打工仔的60人中，最多有20人不是“萬元戶”，從而，他們當中至少有
60-20=40（人）
是“萬元戶”。
說明：本題由李克正研究員提供。
11.解：為了方便，下面敘述中省去“上、下、左、右”4個字前面的“向”。
（1）小蟲爬過2厘米，可有以下6種路線，分別是：
左，右；右，左；
上，下；下，上；
左，左，右，右。
（以上前4種路線均回到o點）。
（2）小蟲爬過3厘米，可有20種路線，分別是：
上，左，下；上，右，下；
下，左，上；下，右，上；
上，下，左；上，下，右；
下，上，左；下，上，右。
（以上8種都是先“上”或先“下”。）
如果第一步為“左”或“右”，那么轉化為第（1）題，各有6種路線。一共是8+6×2=20（種）
答案是：（1）6；（2）20。
說明：本題由單?教授提供。
12.解：表格中自然數的排列規律是：
n2排在第1行第n列，靠近它，但比它小a的數排在第n列，第a+1行；靠近它但比它大b的數排在第n+1行第b列。
99=100-1=102-1
這里n=10，a=1，所以，99應排在第2（=1+1）行，第10列。
答案是2、10。
說明：編輯部供題，據第290期“奧林匹克學校?自己練”改編。
三、應用題
1.解法一：連接BD。
由FD=2EF可知，
S△BFD=S△BFE×2；
由AF=2FB可知，
S△AFD=S△BFD×2=S△BFE×4
設S△BFE=S，
那么S△EBD=S+2S=3S
S平行四邊形BCDE=S△EBD×2=6S
S△ABC=4S+2S+3S=9S
解法二：因為AB×BC÷2=36
所以AB×BC=72
又因為 AF=2FB
答：平行四邊形BCDE的面積是24平方厘米。
說明：編輯部供題。根據第305期第1版“奧林匹克學校?教練員提示語”設計。
2.解法一：設買進這批蚊香共用x元，那么希望獲得的純利潤為“0.4x-300”元，實際上比希望的少賣的錢數為
x×（1-90％）×（1＋40％）×（1-70％）=0.042x（元）
根據題意，得
0.042x=（0.4x-300）×15％
方程兩邊都乘以1000，得，
42x=（0.4x-300）×150
42x=60x-45000
18x=45000
x=2500
解法二：設買進這批蚊香共用x元，那么希望獲純利潤“0.4x-300”元，實際所得利潤為（0.4x-300）×（1-15％）=0.34x-255。10％的蚊香打七折，就相當于全部蚊香打九七折賣，這樣一共賣得“1.4x×0.97”元，根據題意
1.4x×0.97-x-300=0.34x-255
也就是 0.358x-300=0.34x-255
0.018x=45
x=2500
答：買進這批蚊香共用2500元。
說明：編輯部供題。根據第328期“奧林匹克學校?例2”改編。
3.解法一（算術方法）：先畫示意圖如下：
用“1個大圓圈+1個小圓圈”表示女生人數，從圖中容易看出，男生調走2人后，剩下的應是“4個大圓圈+4個小圓圈”，這就要拆開兩個大圓圈，使其中4個搭配到4個大圓圈上，2人調走。也就是說，“2個大圓圈”代表
4+2=6（人）
1個大圓圈代表 6÷2=3（人）
這個興趣小組原有學生
解法二：設這個興趣小組原有女生x人，根據題意，得
5x+2=7×（x-1）+1
解方程，得 x=4
5x+2=22（人）
答：這個興趣小組原有學生22人。
說明：編輯部供題。據321期“趣題巧解”改編。
4.解：（1）從第1個坑到第30個坑，共有多長？
（30-1）×3=87（米）
（2）改為“每5米栽一棵樹”，有多少坑仍然有用？
87÷15=5……12
5+1=6（個）
（3）改為“每5米栽一棵樹”，一共應挖多少個坑？
300÷5=60（個）
（4）還要挖多少個？
60-6=54（個）
答：還要挖54個才能完成任務。
說明：編輯部供題。根據第323期“奧林匹克學校?例3”改編。
5.解：（1）還缺多少錢？
3000-1764=1236（元）
（2）從11月2日～12月9日還有多少天？
30+9-12+1=28（天）
（3）這28天中，（原來小組中）每人可掙多少元錢？
3×28=84（元）
（4）增加的一人應掙多少元？
1236÷84=14（人）……60（元）
（5）要掙60元，增加的那一人要打工多少天？
60÷3=20（天）
30+9-20+1=20
答：增加的這個人應該從11月20日起去打工。
說明：編輯部供題。據第306期“趣題巧解”改編。
6.解法一：根據題意，可知
（1）男女運動員的速度和是（每秒）
（2）男女運動員的速度差是（每秒）
（3）女運動員的速度為（每秒）
（4）女運動員已經跑了
解法二：由于25秒內男女運動員一共跑完1圈，所以13分鐘內他們一共跑了
1×（13×60÷25）=31.2（圈）
又由題意可知，13分鐘內男運動員比女運動員多跑一圈。這就得到一個“和差問題”。由此容易求出女運動員已經跑了
（31.2-1）÷2=15.1（圈）
≈15（圈）
答：追上時女運動員已經跑了15圈。
說明：本題由李克正研究員提供。（見本報第289期“專家題卡”和第302期“小讀者園地”）
四、簡答題
（1）答：有。
（2）例如 6111105（=555555×11）
又如 556110555（=555555×1001）
55556055555（=555555×100001）
17222205（=555555×31）
說明：本題由單?教授提供。
五、作圖題
1.下面是兩種標注數字符號的方法，如下圖：
（2）取斜腰中點作兩個全等的小三角形
說明：本題由張衛國編審提供。解法二可見第304期“奧林匹克學校”例2。
2.還有3種，如下圖：
說明：本題由李克正研究員提供。
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