2003年全國數學聯賽競賽試題（高中）

來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:41:26

一、選擇題（每小題6分,滿分36分）
1．刪去正整數數列1,2,3,……中的所有完全平方數，得到一個新數列．這個新數列的第2003項是
(A)2046　　　 (B)2047　　　(C)2048　　(D)2049
2．設a, b∈R, ab≠0，那么，直線 ax-y+b=0和曲線 bx²+ay²=ab 的圖形是

　　　　(A) 　　　　　　　　　(B)　　　　　　　　　(C)　　　　　　　　　(D)
3．過拋物線y²=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線．若此直線與拋物線交于A,B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于 (A) 16/3　　(B) 8/3　　 (C)16√3/3 　　(D)8√3
4．若x∈[-5π/12，-π/3則y = tan(x+2π/3)-tan(x+π/6)+cos(x+π/6)的最大值是
(A) (12/5)√2　 (B) (6/11)√2　　(C) (11/6)/√3 　(D) (12/5)√3
5．已知x,y都在區間(-2,2)內，且xy＝-1，則函數u=4/(4-x²)+9/(9-y²)的最小值是
(A) 8/5　　　　(B)　24/11　　　(C) 12/7　　　　(D) 12/5
6．在四面體ABCD中，設AB=1，CD=√3，直線AB與CD的距離為2，夾角為π/3，則四面體ABCD的體積等于
(A)　√3/2　　　(B)　1/2　　　(C)　1/3　　　(D) √3
二、填空題(每小題9分,滿分54分)
7．不等式|x|³-2x²-4|x|+3＜0的解集是__________.
8．設F₁,F₂是橢圓x²/9+y²/4的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF₁|:|PF₂|=2:1，則△PF₁F₂的面積等于__________.
9．已知A={x|x²-4x+3＜0,x∈R}, B={x|≤0, x²-2(a+7)x+5≤0,x∈R}．若A是B的子集, 則實數a的取值范圍是____________.
10．已知a,b,c,d均為正整數，且log_ab=3/2, log_cd=5/4，若a-c=9, 則b-d=________.
11．將八個半徑都為1的球分兩層放置在一個圓柱內，并使得每個球和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側面都相切，則此圓柱的高等于________.
12．設M_n={(十進制)n位純小數0.a₁a₂…a_n|a_i只取0或1(i=1,2,…,n-1)，a_n=1}，T_n是M_n中元素的個數，S_n是M_n中所有元素的和，則

(S_n/T_n)=_______.
三、解答題(每小題20分，滿分60分)
13. 已知3/2≤x≤5,證2√(x+1)+√(2x-3)+√(15-3) < 2√19
14. 設A、B、C分別是復數Z₀=ai,Z₁=1/2+bi,Z₂=1+ci對應的不共線三點。證：曲線Z=Z₀cos⁴t+2Z₁cos²tsin²t+Z₂sin⁴t與中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點。
15. 一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內一定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A'剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當A'取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合。

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