2002年全國數學聯賽競賽試題（高中）

來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:45:19

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）
1、函數f(x)=log_1/2(x²-2x-3)的單調遞增區間是（　　）。
（A）（－∞,－1）　　（B）（－∞,1）　　（C）（1,＋∞）　　（D）（3,＋∞）
2、若實數x，y滿足(x+5)²+(y-12)²=14²，則x²+y²的最小值為（　　　）。
（A）2　　　（B）1　　　（C）√3　　　　（D）√2
3、函數f(x)=x/(1-2^x)-x/2（　　　）
（A）是偶函數但不是奇函數（B）是奇函數但不是偶函數（C）既是偶函數又是奇函數（D）既不是偶函數也不是奇函數
4、直線x/4+y/3=1與橢圓x²/16+y²/9=1相交于A，B兩點，該橢圓上點P，使得ΔPAB面積等于3，這樣的點P共有（　　）。
（A）1個　　　　（B）2個　　　　（C）3個　　　　（D）4個
5、已知兩個實數集合A＝｛a₁,a₂,…,a₁₀₀｝與B＝｛b₁,b₂,…,b₅₀｝，若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a₁)≤f(a₂)≤…≤f(a₁₀₀)則這樣的映射共有（　　　）。
（A）

　　　　（B）

　　　　（C）

　　　　　（D）

6、由曲線x²=4y,x²=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V₁；滿足x²+y²≤16,x²+(y-2)²≥4,x²+(y+2)²≥4的點（x,y）組成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V₂，則（　　　）。
（A）V₁=（1/2）V₂ 　　　　　　　（B）V₁=（2/3）V₂
（C）V₁=V₂　　　　　　　　　　　（D）V₁=2V₂
二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）
7、已知復數Z₁,Z₂滿足ㄏZ₁ㄏ＝2,ㄏZ₂ㄏ＝3,若它們所對應向量的夾角為60°,則ㄏ(Z₁＋Z₂₎/(Z₁＋Z₂)ㄏ=　　　。

8、將二項式

的展開式按x的降冪排列，若前三項系數成等差數列，則該展開式中x的冪指數是整數的項共有　　　　個。
9、如圖，點P₁，P₂，…，P₁₀分別是四面體頂點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組（P₁，P_i，P_j，P_k）（1＜i＜j＜k≤10）有　　　　個。
10、已知f(x)是定義在R上的函數，f(1)=1且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=　　　　。
11、若log₄(x+2y)+log₄(x-2y)=1，則ㄏxㄏ-ㄏyㄏ的最小值是　　　　。
12、使不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx對一切x∈R恒成立的負數a的取值范圍是　　　　。
三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）
13、已知點A（0,2）和拋物線y²=x+4上兩點B，C使得AB⊥BC，求點C的縱坐標的取值范圍。
14、如圖，有一列曲線P₀，P₁，P₂……，已知P₀所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，P_k+1是對P_k進行如下操作得到：將P_k的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記S_n為曲線P_n所圍成圖形的面積。

……
（1）求數列｛S_n｝的通項公式；
（2）求

S_n.
15、設二次函數f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件：
（1）當x∈R時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
（2）當x∈(0,2)時，f(x)≤((x+1)/2)²;
（3）f(x)在R上的最小值為0.
求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。

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