B1-029  求所有實(shí)數(shù)a，使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅滿足關(guān)系：

【題說】第二十一屆(1979年)國際數(shù)學(xué)奧林匹克題5．本題由以色列提供．

【解】利用柯西不等式及題設(shè)條件，有

故中間不等式只能取等號(hào)，這意味著在x_k≠0時(shí)，

由此推知，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中至多一個(gè)非0．因此，只能有下面兩種情況：

(1)x₁=x₂=x₃=x₄=x₅=0，此時(shí)a=0；

(2)某個(gè)x_k=c≠0，其余x_i=0(i≠k)．這時(shí)由已知得kc=a，k³c=a²，k⁵c=a³．從而

k²=a，c=k

總之，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，1，4，9，16，25時(shí)，存在非負(fù)實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅滿足題中三個(gè)方程．

B1-030  下列表中的對(duì)數(shù)值有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)予糾正．

【題說】1981年全國聯(lián)賽題2．

【解】lg3、lg0.27、lg9的值同為正確或同為錯(cuò)誤．因表中只有兩處錯(cuò)誤，故三者都對(duì)．同理，lg2、lg5、lg8、lg6都對(duì)．

再若lg7=2(b+c)，則lg14=lg7+lg2=1-a+2b+c，lg0.021=lg3+lg7-3=2a+b+2c-3，lg2.8=2lg2+lg7-1=1-2a+2b．即lg7=2(b+c)對(duì)，就推出lg14、lg0.021、lg2.8三個(gè)值都錯(cuò)，與題設(shè)矛盾，故知lg7不對(duì)．應(yīng)為lg7=lgl4-lg2=2b+c．

lg1.5的值也不對(duì)，應(yīng)為lg1.5=lg3+lg5-1=3a-b+c-1．

 

B1-031  把n²個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)排成下表：

a₁₁，a₁₂，…，a_1n

a₂₁，a₂₂，…，a_2n

…

a_n1，a_n2，…，a_nn

取每行的最大數(shù)得n個(gè)數(shù)，其中最小的一個(gè)是x；再取每列的最小數(shù)，又得n個(gè)數(shù)，其中最大的一個(gè)是y，試比較xⁿ與yⁿ的大小．

【題說】1982年上海市賽二試題 2

【解】設(shè)x=a_ij，y=a_pq，則

a_ij≥a_iq≥a_pq

所以x≥y．

(1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，xⁿ≥yⁿ．

(2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)

(i)如果x≥y≥0，則xⁿ≥yⁿ；

(ii)如果0≥x≥y，則xⁿ≤yⁿ；

(iii)如果x≥0≥y，則當(dāng)x≥-y時(shí)，xⁿ≥yⁿ；當(dāng)x≤-y時(shí)，xⁿ≤yⁿ．

 

B1-032  對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y．定義運(yùn)算x_*y為：

x_*y=ax+by+cxy

其中a、b、c為常數(shù)，等式右端運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)的加法和乘法．現(xiàn)已知1_*2=3，2_*3=4，并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x_*d=x，求d的值．

【題說】1985年全國聯(lián)賽一試題 2(4)．原題為填空題．

【解】由所設(shè)條件，有

1_*2=a+2b+2c=3

                                                                                                           (1)

2_*3=2a+3b+6c=4

                                                                                                           (2)

x_*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x

                                                                                                   (3)

由(3)得

a+cd=1

                                                                                                           (4)

bd=0

                                                                                                   (5)

因d≠0，故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最后由(4)式得d=4．

 

B1-033  </FON