A5－011  自然數(shù)n的數(shù)字和用S（n）來(lái)表示．

（1）是否存在一個(gè)自然數(shù)n，使得n＋s（n）=1980；

（2）證明：在任意兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)之中，至少有一個(gè)能表示成n＋S（n）的形式，其中n為某個(gè)自然數(shù)．

【題說(shuō)】第十四屆（1980年）全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題6．

【解】（1）當(dāng)n=1962時(shí)，n＋S（n）=1980．

（2）令S_n=n＋S（n），如果n的末位數(shù)字是9，則S_n+1＜S_n；否則S_n+1=S_n＋2．對(duì)任意兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)m（m≥2），m＋1，在S_n＜m的n中，選擇最大的，并用N表示．這時(shí)S_N+1≥m＞S_N，所以N的末位數(shù)字不是9，從而S_N+1=S_N+2．由m≤S_N+1=S_N+2＜m＋2，即得S_N+1=m或S_N+1=m＋1．

A5－012  設(shè)n為≥2的自然數(shù)．證明方程xⁿ＋1=yⁿ⁺¹在x與n＋1互質(zhì)時(shí)無(wú)正整數(shù)解．

【題說(shuō)】1980年芬蘭等四國(guó)國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題3．本題由匈牙利提供．

【證】xⁿ=yⁿ⁺¹－1=（y－1）（yⁿ＋y^n-1＋…＋1）．如果質(zhì)數(shù)p是y－1與yⁿ＋y^n-1＋…＋1的公因數(shù)，則p整除xⁿ，從而p是x的因數(shù)．但y除以p余1，所以yⁿ＋y^n-1＋…＋1除以p與n＋1除以p的余數(shù)相同，即n＋1也被p整除，這與x、n＋1互質(zhì)矛盾．因此y－1與yⁿ＋y^n-1＋…＋1互質(zhì)，從而y－1=sⁿ，yⁿ＋y^n-1＋…＋1=tⁿ，其中s、t為自然數(shù)，st=x．但yⁿ＜yⁿ＋y^n-1＋…＋1＜（y＋1）ⁿ，所以yⁿ＋y^n-1＋…＋1≠tⁿ，矛盾，原方程無(wú)解．

A5－013  設(shè)a、b、c是兩兩互素的正整數(shù)，證明：2abc－be－ac－ab是不能表示為xbc＋yac＋zab形式的最大整數(shù)（其中x、y、z是非負(fù)整數(shù)）．

【題說(shuō)】第二十四屆（1983年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題3．

【證】熟知在a、b互素時(shí)，對(duì)任意整數(shù)n有整數(shù)x、y，使ax＋by=n．當(dāng)n＞ab－a－b時(shí)，首先取0≤x＜b（若x＞b則用x－b、y＋a代替x、y），我們有

by=n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a（b－1）=－b

所以y＞－1也是非負(fù)整數(shù)．即n＞ab－a－b時(shí)，有非負(fù)整數(shù)x、y使ax＋by=n．

因?yàn)?/font>a、b、c兩兩互素，所以（bc，ac<FONT style="