A4－014  （a）對于什么樣的整數n＞2，有n個連續正整數，其中最大的數是其余n－1個數的最小公倍數的約數？

（b）對于什么樣的n＞2，恰有一組正整數具有上述性質？

【題說】第二十二屆（1981年）國際數學奧林匹克題4．

【解】設n個連續正整數中最大的為m．

當n=3時，如果m是m－1，m－2的最小公倍數的約數，那么m整除（m－1）（m－2），由m|（m－1）（m－2）得m|2，與m－2＞0矛盾．

設n=4．由于

m|（m－1）（m－2）（m－3）

所以m|6，而m＞4，故這時只有一組正整數3，4，5，6具有所述性質．

設n＞4．由于m|（m－1）（m－2）…（m－n＋1），所以m|（n－1）！取m=（n－1）（n－2），則（n－1）|（m－（n－1）），（n－2）|（m－（n－2））．由于n－1與n－2互質，m－（n－1）與m－（n－2）互質，所以m=（n－1）（n－2）整除m－（n－1）與m－（n－2）的最小公倍數，因而m具有題述性質．

類似地，取m=（n－2）（n－3），則m整除m－（n－2）與m－（n－3）的最小公倍數，因而m具有題述性質．

所以，當n≥4時，總能找到具有題述性質的一組正整數．當且僅當n=4時，恰有唯一的一組正整數．

A4－018  試求出所有的正整數a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得（a－1）（b－1）（c－1）是abc－1的約數．

【題說】第三十三屆（1992年）國際數學奧林匹克題1．本題由新西蘭提供．

【解】設x=a－1，y=b－1，z=c－1，則1≤x＜y＜z并且xyz是

（x＋1）（y＋1）（z＋1）－1=xyz＋x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的約數，從而xyz是x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的約數．

由于x＋y＋z＋xy＋yz＋zx＜3yz，所以x=1或2．

若x=1，則yz是奇數1＋2y＋2z的約數．由于1＋2y＋2z＜4z，所以y=3．并且3z是7＋2z的約數．于是z=7．

若x=2，則2yz是2＋3y＋3z＋yz<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'