摘要：本文概述了奧林匹克數學的產生與發展過程，在此基礎上分析論證了奧林匹克數學的基本特征及教育功能，指出科學合理地舉辦數學奧林匹克活動，對于傳播數學思想方法，激發學生學習數學的興趣，培養學生的創新精神，提高學生的數學素養和思維能力，促進數學教師素質的提高和數學教育改革，發展和選拔優秀人才等都是十分有益的。

　　奧林匹克數學；特征；教育功能

　　奧林匹克數學的產生與發展

    奧林匹克運動起源于古希臘，它原是關于體能的競賽。數學奧林匹克與體育奧林匹克相類似，它是青少年智能的競賽，智能和體能都是創造人類文明的必要條件，所以前蘇聯人首創了“數學奧林匹克”這個名詞。國際數學奧林匹克(InternationalMathe2maticalOlympiads)簡稱IMO，是一項以數學為內容，以中學生為對象的國際性競賽活動，至今已有30余年的歷史。

　　數學是鍛煉思維的體操，而其核心則是問題。解數學難題的競賽至少可以追溯到16世紀初期。當時，不少數學家喜歡提出問題，向其他數學家挑戰，以比高低。其中在意大利有過塔爾塔利亞(Tartaglia)和卡當諾(Cardano)關于解一元三次方程的激烈競爭。19世紀法國科學院也曾以懸賞的形式征求對數學難題的解答，常常獲得一些重要的數學發現，數學王子高斯就是比賽的優勝者。

　　公開的解題競賽無疑會引起數學家的注意和激發更多人的興趣，隨著學校教育的發展，教育工作者開始考慮在中學生中間舉辦解數學難題的競賽，以激發中學生的數學才能和引起對數學的興趣。

　　世界上真正有組織的數學競賽開始于1894年，當時匈牙利數學界為了紀念著名數學家、匈牙利數學會主席埃特沃斯榮任匈牙利教育部長而組織了第一屆中學生數學競賽。開始命名為埃特沃斯競賽，后來，庫而俄克大力推進了這一工作，為了紀念他，匈牙利中學數學競賽又叫庫而俄克競賽。這一活動除兩次世界大戰和1956年匈牙利事件而中斷七年外，每年十月舉行一次，每次競賽出三道題，限四小時作完，允許使用任何參考書。這些試題難度適中，別具風格，雖然用中學生學過的知識就可以解答，但又涉及許多高等數學的課題。中學生通過做這些試題，不但可以檢查自己對初等數學掌握的程度，提高靈活運用這些知識以及邏輯思維的能力，還可以接觸到一些高等數學的概念和方法，對于以后學習高等數學有很大幫助。匈牙利數學競賽的上述特點，使得它的命題方向對世界各國數學競賽，乃至國際數學奧林匹克的命題都產生了重大的影響。

　　自1894年匈牙利舉辦數學競賽之后，羅馬尼亞、前蘇聯等東歐諸國相繼舉辦全國性的數學競賽，20世紀五六十年代，世界出現了一個舉辦中學數學競賽的高潮。這種競賽高潮的興起，為國際數學奧林匹克的誕生奠定了基礎。1956年羅馬尼亞教授羅曼(Roman)發起了第一次國際數學奧林匹克，東歐諸國正式確定了開展國際數學奧林匹克計劃，并于1959年7月，在羅馬尼亞的古都布拉索夫舉行了第一屆國際數學奧林匹克，參加的七個國家都是東歐國家。以后的幾屆IMO，參賽國只限于東歐少數國家，實際上只有地區性而沒有多少國際性。

　　直到20世紀60年代末才逐步擴大到西歐及美洲，發展成真正全球性的中學生數學競賽。1990年在北京舉行的第31屆IMO有54個隊，而2001年在美國舉行的第42屆IMO已有83個隊、四百多名選手參加，基本上包括了世界上中學數學教育水準較高的國家。

　　現在，IMO已成為一項國際上最有影響力的學科競賽，同時也是公認水平最高的中學生數學競賽。我國的數學競賽始于1956年。在著名數學家華羅庚、蘇步青等人的倡導下，由中國數學理事會發起，北京、天津、上海、武漢四城市首先舉辦了高中數學競賽。到第二年舉辦的城市更多。正當數學競賽逐步向全國推廣的時候，因面臨嚴重經濟困難，1959年和1961年數學競賽被迫中斷，至1965年，只零零星星地舉行過6屆。比賽前后，華羅庚等著名數學家直接給中學生作報告，在這些報告的基礎上，出版了一批優秀的課外讀物--數學小叢書，共計十三冊，如華羅庚的《從楊輝三角談起》，段學復的《對稱》，史濟懷的《平均》，姜伯駒的《一筆畫及郵遞線路問題》，蘇步青的《非歐幾何學》等，這是我國第一批“奧林匹克數學”學術著作。這段時間，我國數學競賽活動的勢頭很好，對我國的中等教育與人才培養起了很好的作用，引起各界的關注。競賽的方式、試題的難度、選手的水平等都與IMO相同或相近，我們完全可以走向世界，參加國際的角逐。但是，1966年開始的“史無前例”的文化大革命，使數學競賽在中國完全絕跡。

　　1978年是科學的春天，我國的數學競賽活動又重新開始，華羅庚教授親自主持了規�？涨暗娜珖�八省市數學競賽，與此同時，許多省、市都恢復了數學競賽。1979年從八省市的競賽發展為除臺灣以外的全國29個省、市、自治區的競賽。由華羅庚教授任競賽委員會主任，并主持命題工作。競賽分初賽和決賽二試進行。1980年全國競賽暫停一年。

　　1980年，在大連召開了第一屆全國數學普及工作會議，代表們著重研究了數學競賽工作，把全國數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，并正式定名為“全國各省、市、自治區高中聯合數學競賽”。從此，中國的數學競賽有了一個常設的、學術性民辦機構，開創了走向世界的新階段。

　　全國高中聯賽的命題貫徹在普及基礎上提高的原則，要有利于促進中學數學教學改革、提高教學質量，有利于提高學生學習數學的興趣，有利于發現人才、培養人才，有利于參加IMO隊員的選拔工作。試題的命題范圍以高中數學競賽大綱為準。從1981年開始，中國中學生數學競賽以各省市聯合競賽的方式延續下來，1985年發展到初中，1990年延伸到小學。

　　1985年，我國派出兩名選手參加第26屆IMO以了解情況，投石問路，結果只獲得一枚銅牌，與各國選手相比成績處于中下。為了改變這一落后狀況，提高我國在IMO中的成績，加速培養數學人才，中國數學會決定：自1986年起，每年一月份由中國數學會和南開大學、北京大學、復旦大學、中國科技大學中的一所大學聯合舉辦一次全國中學生數學冬令營。冬令營邀請各省、市、自治區頭一年全國高中聯賽的優勝者參加。自1991年起，冬令營定名為“中國數學奧林匹克”(簡稱CMO)。

　　CMO的考試方法類似于IMO，兩天共考6題，每天3題，要求在4.5小時內完成，試題的難度接近于IMO，從中選拔出20余名隊員組成國家集訓隊，然后經過集訓，最后選出6名選手參加當年7月舉行的IMO。

　　我國參加IMO的時間不長，但是，由于眾多數學教育界知名專家、學者及集訓隊教練員、隊員的共同努力，成績突飛猛進。只經過短暫的4年就由開始參賽的中下水平一躍成為IMO的冠軍，得到了國際數學界的公認。第31屆IMO在中國的成功舉行，更進一步提高了我國在國際教育界和科學界的地位。

　　IMO常務委員會主席、前蘇聯數學家雅克夫列副教授稱贊道：“中國古代數學的卓越成就，和如今在IMO中的輝煌成果，都給人留下了深刻的印象�！�

　　奧林匹克數學的基本特征

　　奧林匹克數學形成于數學競賽活動，在這樣的背景中形成的競賽數學的知識形態是很特殊的，它不具備完整的知識體系和嚴密的邏輯結構，但又具有相對穩定的內容，通過問題和解題將許多具有創造性、靈活性、探索性和趣味性的知識、方法綜合在一起，這就決定了這門學科的主要研究對象是競賽數學命題與解題的規律和藝術，并且具有不同于其他數學學科的許多特征。

　　內容的廣泛性

　　競賽數學通過一個個千姿百態的問題和機智巧妙的解法，橫跨傳統數學與現代數學的各個領域，與代數、幾何、數論、組合等保持著密切而自然的聯系，但又不同于這些學科系統的專門研究，它可以隨時吸收有趣味的、富有靈活性和創造性而又能為選手接受的問題，而不受研究對象的限制，因此這門學科比其他學科的內容更為廣泛。

　　競賽數學包含了傳統數學的精華。數學歷史上的著名問題，是歷代數學大師的光輝杰作，是人類文明的寶貴財富，它們以別致、獨到的構思，新穎、奇巧的方法和精美、漂亮的結論，使人們賞心悅目、流連忘返。由于種種原因，今天學校的課堂教學，沒能提供機會讓青少年學生接觸這筆豐富的遺產，而競賽數學繼承和發揚了這筆豐富的遺產。這既說明了命題者的主觀傾向，又說明了那些傳統名題的教育價值。

　　競賽數學吸收了能用初等語言表達，并能用初等方法解決的高等數學中的某些問題。這里的問題甚至解法的背景往往來源于某些高等數學領域，滲透了高等數學中的某些內容、思想和方法。競賽數學又不同于這些數學領域。通常數學往往追求證明一些概括的廣泛的定理，而競賽數學恰恰尋求一些特殊問題；通常數學追求建立一般的理論和方法，而競賽數學則追求用特殊的方法來解決特殊問題，而不需要高深的數學工具，這些問題往往可以從思考角度、理解方法和解題思路方面推出一種廣義的認識。

　　命題的新穎性

　　由于競賽題目難度大，為了保證題目的新意，許多競賽題目不僅常常使用現代化的數學語言，而且體現了現代數學發展的趨勢(主要是離散數學)，甚至有些內容就是科學研究的新成果。前沿數學家在自己的研究中遇到一些中間子問題，最終能用初等方法來解決，于是就變為不可多得的好試題。另外，對一些現代數學的研究成果經過簡單化、特殊化后可以找到初等解法，更是競賽試題的重要來源。正如競賽專家喬治·西澤克斯(GeorgeSezekers)所說：“我所提出的問題幾乎全部來自'實際生活'，那就是說，來自數學家的實際工作所產生的問題�！�

　　例1(1986CMO第1題)a1，a2，？，an為實數，如果它們中任意兩數之和非負，那么對于滿足x1+x2+？+xn=1的任意非負實數x1，x2，？，xn有不等式a1x1+a2x2+？+anxn≥a1x21+a2x22+？+anxnn成立。請證明上述命題及其逆命題。

　　這是命題者常庚哲先生科研中遇到的問題。例2(1990IMO預選題)10個地區之間有兩個國際航空公司，在任意兩個地區之間都有一直達航線(中間不停)，所有航線都是可往返的。證明至少有一個國際航空公司可以提供兩條互不相交的環形旅行線，其中每條線上的站數是奇數。這一題目的背景是圖論中的拉木賽(Ramsy)定理，以這一定理為背景的競賽題目很多，也很有趣。解答這類問題主要應用染色方法及抽屜原理，而不要求具有高深和特殊的數學知識。

　　方法的創造性

　　奧林匹克數學是才智的角逐。解競賽題雖然離不開一般的思維規律，也有一些使用頻率較高的方法和技巧，但沒有固定的常規模式可循，它需要縱觀全局的整體洞察力，敏銳的直覺和獨創性的構思，要求學生自己去探索、嘗試，通過觀察、思考發現規律，尋求解決問題的有效途徑。一些有固定模式可以遵循的問題，不屬于奧林匹克數學。

　　例3(1983IMO第6題)設a、b、c是三角形的三邊長，求證：

　　a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0并說明等號何時成立。

　　16歲的西德選手波恩哈德·李由于對此題的巧妙求解而被授予奧林匹克特別獎。首先，他記左邊為I，由于多項式I是輪換對稱的，不妨設a≥b，c，故有I=a(b-c)2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c)≥0

　　顯然，I=0的充要條件是a=b=c.

奧林匹克數學的教育功能

　　從教育的角度看，奧林匹克數學競賽是以開發智力為根本目的，以問題解答為基本形式，以競賽數學為主要內容，且具有綜合教育功能的數學教育.這種教育有明顯的選拔功能、激勵功能、導向功能。概括地講，奧林匹克數學的教育功能主要表現在以下幾個方面：

　　奧林匹克數學教育有利于發現人才

    培養人才通過數學競賽可以及時發現人才、選拔人才，并通過適當的方式加以特殊培養，促使人才加快成長。

　　例如，較早開展數學競賽的匈牙利，雖然是一個小國，卻培養出一大批世界級科學家。歷屆IMO的獲得者中有不少取得了輝煌的成就。因此，奧林匹克數學教育是引導有才能的青少年步入科學殿堂的階梯；是發現和培養新一代學者和科技人才的重要手段。美國數學競賽委員會顧問特爾勒教授就曾指出：“在IMO的參加者中，十分可能產生新一代的數學領袖。”

　　在科技高速發展的今天，數學作為一門重要學科，其思維的素質不僅對自然科學、工程技術等方面有用，而且更滲透到社會科學、人文科學等領域。因此，數學競賽不僅造就數學人才，同時，也更大量地為各個學科儲備科技領袖與擅于科學決策的管理人才。例如，從1969年開始到1983年的16次諾貝爾經濟獎中，有9次由數學家獲得，這充分表明良好的數學素質對眾多領域都有著重要作用。

　　奧林匹克數學可激發青少年學習數學的興趣

　　“興趣”是指人們積極探索某種事物的認知傾向。興趣來源于動機，動機來源于需要，而需要來源于價值觀。要使學生對數學學習有興趣，必須使他們親自感受與體驗到數學知識的無限魅力。奧林匹克數學問題從結構到解法都充滿著藝術的魅力和誘人的趣味，其間所蘊含的數學思想和方法閃爍著人類智慧的結晶和偉大的創造力，它吸引人們積極探索，給學生提供了充滿生機的學習情境和體驗數學思辨力量的機會。

　　此外，數學競賽采用“問題與解答”的方式，具有公開的競爭性，每一場競賽都是選手們價值的自我發現、自我實現的機會，使得它具有良好而鮮明的激勵功能。因此，通過數學競賽，可以有效地發展學生科學探索精神，激發學生學習數學的興趣，并從中確立理想、信念等價值觀念。

　　奧林匹克數學對中學數學課程改革起促進作用

　　奧林匹克教育作為一種較高層次的教育活動，從一定意義上講，也是某種數學教育的試驗，因而它對中學數學教育的改革會產生一定的影響。作為聯系著中學數學與現代數學的“中間數學”，在其教育活動中，許多現代數學的新思想、新方法、新內容不斷地滲透、影響著中學數學。通過競賽活動，讓現代數學的內容先在“中間數學”進行試驗，到了教師和學生都能普遍接受的時候，再穩妥地滲透和部分地移植到中學數學課程中去。日本數學教育家早在60年代國際數學教育現代化盛行期間就指出：“集合與向量成為中學數學教育的內容，在10年前還是微不足道的特殊見解，但今天它卻已成了常識”。現在，在數學競賽中出現的內容，如集合、關系、映射、矩陣都已變成諸多國家中學數學教材中成熟的內容。

　　奧林匹克數學教育重視能力培養

　　數學教育的主要任務是培養學生具有創造性的數學能力和解決實際問題的能力。數學競賽是一種智力競賽，它要求學生能解各種各樣的數學難題，這一性質就要求人們注重智力的開發與能力的發展。在這一教育活動中，它不僅包括了許多重要的數學思想方法，如觀察試驗、歸納猜想、類比聯想、一般與特殊、數形結合等思維方法，同時也滲透了如觀察、探索、枚舉、化歸等現代數學的思想、解題策略等。

　　另外，在數學競賽題目中，有許多涉及到實際應用的問題，如計數、圖論、邏輯、抽屜原理等。解決這類問題，一般都需要對實際問題的數學意義進行分析、歸納，把實際問題抽象成為數學問題，然后用相應的數學知識和方法去解決。在這一構造數學模型的過程中，能夠有效地培養學生用數學觀點看待和處理實際問題的能力，提高學生用數學語言和模型解決實際問題的意識和能力，提高學生揭示實際問題中隱含的數學概念及其關系的能力等等。使學生能夠在這一創造性思維過程中，看到數學的實際作用，感受到數學的魅力，增強學生對數學美的感受力。在強調素質教育的今天，奧林匹克數學的這一教育功能有著更為重要的現實意義。