數學之美在于數字，而數字之美在于數論。有人說：數論就是這樣一種東西，她提醒你數學有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命，她喚起心神，滌盡我們的蒙昧與無知。縱觀現今北京市小升初考試，數學科中數論的考點可達試卷的三分之一。可以這樣說，決戰小升初賽場，得數論者得天下。然，相當一部分孩子們面對試題，又常常困惑，不知開啟智慧之門的鑰匙該到何處尋求。這里，我們以一道普通的六年級數論習題和大家一道探討下數論的學習方法。

　　例：求證  5個整數中肯定能找到3個數，使這3個數的和是3的倍數。

　　一、萬丈高樓平地起

　　重視基礎知識是一切學習方法的根本。基礎知識的學習過程中，死記硬背不是目的。生硬的記憶只能告訴我們眼前的東西是什么，卻不能告訴我們為什么是什么。如此，知識在腦海中僅僅是有關別人的記憶，而無法成為自己的智慧。學習數論知識，一定要有打破沙鍋問到底的精神，最好是自己可以動手把所有的定理、性質都研究一遍，弄清所以，只有這樣，才能把知識真正的據為己有，丟不了，忘不掉。

　　基礎知識的學習還有很重要的一點就是要學會把知識點連成線，把線織成網。數學源自生活，而數論卻起源與數字。抽象性強是數論的最大特征。我們在學習的過程中應當將其取之抽象而還之于形，理解記憶于形而運籌帷幄于抽象。小學階段，數論部分的內容大致可以分為如下幾塊：

　　整除問題：（1）整除的性質；（2）數的整除特征

　　余數問題：（1）帶余除式的運用     被除數=除數×商+余數.（余數總比除數小）

　　（2）同余的性質和運用

　　奇偶問題：（1）奇偶與加減運算；（2）奇偶與乘除運算

　　質數合數：（1）質因數的分解

　　約數倍數：（1）最大公約最小公倍兩大定理

　　（2）約數個數決定法則

　　完全平方數：（1）完全平方數的概念；（2）性質

　　知識點千絲萬縷無非也是源自這六個板塊。建議大家可以自己動手畫個樹圖，以這六個部分為主干，相關知識做枝葉，你會發現，縱有萬縷千絲最后也不過是結成了一張網。而這張網就是數論之形。當這張網在你的腦海中揮之不去，你也就定然可以對知識點運用自如。

　　回到我們的例題，請想想看，想建好這棟樓，要用到哪些知識呢？

　　二、用數學的思維思考，用數學的語言說話

　　數學思維是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。數學思維主要表現在思維活動的運演方面，有數學的特點和操作方式。具體說，數學思維有三個特點：概括性，問題性，相似性，這里的概括性、問題性（包括“為什么，以及問題的構造和解決方案”），不是通常意義上的概括性和問題性，對數學有足夠理解的人才能都體會；相似性是指思維成果上的相似性、一致性、不矛盾性，不同于其他學科的思維成果。數學思維目的性強，邏輯脈絡清楚，數學語言簡明通達，表意層次分明。學會用數學思維思考，用數學語言表述是學好數論的必要條件。

　　通常，我們在思考數論問題的時候，有這樣兩種思考方法：

　　（1）已知--由已知得到的--由得到的而得到的--結論

　　（2）結論--想知道結論而必須知道的--必須知道的而可以知道的--已知

　　顯而易見，一種方法是由已知出發得出結論，而另一種方法是由結論出發得出已知。兩種方法，擇優而思。以例題為例：

　　5個整數中肯定能找到3個數，使這3個數的和是3的倍數，重點在3個數的和是3的倍數上。那么，要想知道3個數的和是3的倍數，我們有兩種方法：（1）找到的3個數的和的各個數位之和可以被3整除；（2）利用余數。顯然在這道題里我們應該選擇（2）。任意一個數被3除，余數可以有：0、1、2三種情況。而當五個數中有3個或者3個以上能被三整除的，拿出這些被整除的數中任意3個作和，結果可以被3整除；當五個數中有3個或者3個以上能被三除余1的，拿出這些被3除余1的數中任意3個作和，結果可以被3整除；當五個數中有3個或者3個以上能被三除余2的，拿出這些被3除余2的數中任意3個作和，結果可以被3整除。如果上述情況都沒有，即5個數中被3整除的數少于3個，被3除余1的數也少于3個，被3除余2的數也少于三個，那么，上述條件下，5個數中被3除余數為0、1、2的三種情況必然同時存在，此時取被3除余數分別為0、1、2的三個數相加，結果也必然能被3整除。有了這樣的思考，我們為本題做答如下：

　　證明： 根據整數除以3所得的余數把整數分為3類。5個整數有以下兩種情況：①如果5個數中每個類的數都有，則每類各取一個，3個數的和是3的倍數；②如果5個數都不屬于某個類，則至少有3個同屬于另外的類，則取這3個數，這3個數的和是3的倍數。所以，5個整數中肯定能找到3個數，使這3個數的和是3的倍數。

　　三、數學是自由的

　　數學是自由的，所以她準許我們大膽的玩弄，想像與猜測。

　　要想學好數論，就要學會順藤摸瓜，順著題目的騰大膽的四面八方的自由的爬。依然以例題為例：當我們知道5個整數中肯定能找到3個數，使這3個數的和是3的倍數，腦海中就有了如下的簡圖：5→3→3，樣子有些象等式，那么如果在每一項上都加上3得到的是8→6→3還是8→6→6呢？于是，有了這樣的命題：（1）8個整數中肯定能找到6個數，使這6個數的和是3的倍數；（2）8個整數中肯定能找到6個數，使這6個數的和是6的倍數。用與例題類似的方法，可以證明命題（1）是正確的。與命題（1）類似，也可以有這樣一個命題（3），11個整數中肯定能找到9個數，使這9個數的和是3的倍數。

　　例題如果僅僅只能得到這些，似乎顯的太狹隘一些。再看5→3→3，很容易想到這樣一個命題（4）：3個整數中肯定能找到2個數，它們的和是2的倍數。3個數除以2的余數至少有兩個是相同的，這兩個數之和當然是2的倍數。現在把5→3→3和3→2→2放在一起，又可以想到命題（5）：7個整數中肯定能找到4個數，它們的和是4的倍數。這個命題的正確性也很好證明：

　　證明：由命題（4），其中肯定存在兩個數a+b=2A；對于剩下的5個數應用命題（4），其中肯定存在兩個數c+d=2B；然后對剩的3個數再次應用命題（4），其中肯定存在兩個數e+f=2C。最后，對A、B、C應用命題（4），得到其中肯定存在兩個數之和為偶數的情況，不妨設A+B是偶數，則相應的a+b+c+d=2(A+B)，必是4的倍數。由此，命題得證。

　　至此，我們做個大膽的猜想，2n-1個整數中肯定能找到n個數，這n個數的和是n的倍數。 證明的方法也不是很難，你能做出來嗎？

　　自由的數學只有放任思想自由才可以得到精髓。要學好數論關鍵在于你要保持頭腦的清醒，敢于想像，猜測，積極論證你的想法和結論。

　　有人說學習有三個境界：

　　（一）是昨夜西風凋碧樹，獨上高樓望盡天涯路

　　（二）是衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴

　　（三）是眾里尋她千百度，募然回首，那人卻在燈火闌珊處

　　數論的學習過程中一樣也要經過這三個階段。掌握一定的技巧方法，經過一定量習題的粹煉，勤于思考，善于思考，相信這樣的你一定能夠達到自己所期望的目標。數論是有魔力的，若是“眾里尋她千百度，募然回首，那人卻在燈火闌珊處”，我更相信，你會義無返顧的愛上這“數學之后”！

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