化整為半的趣事

　　當(dāng)你思考一件事物的一半再加上1/2不是一個(gè)整數(shù)時(shí)，你是否感到困惑？如果是這樣，當(dāng)你試圖通過“唱片要割裂嗎”一事來解決這一謎團(tuán)時(shí)會(huì)更迷惑。嗨！這問題的訣竅在于領(lǐng)悟到一個(gè)奇數(shù)唱片的一半再加上一張唱片的一半正好是一個(gè)整數(shù)。

　　因?yàn)楹�倫做完第二次�?zèng)送時(shí)，她只剩下1張唱片，所以在她贈(zèng)給喬之前，她一定有3張唱片。3的一半是1.5，那么1.5+1/2=2，因而海倫的第二次禮品是2張唱片，最后她只剩下1張完整的唱片。現(xiàn)在可以很容易地回想明白海倫開始時(shí)一定有7張唱片，其中4張送給了蘇茜。

　　其實(shí)這問題可以通過代數(shù)方法解決。為此列和解一個(gè)方程是基礎(chǔ)代數(shù)中有代表性的練習(xí)。但對(duì)這樣一個(gè)簡單問題要列如下一個(gè)復(fù)雜方程你一定會(huì)感到很吃驚吧：

　　X-(X/2+1/2)-[X-（X/2+1/2）]/2=1

　　通過改變參數(shù)，很容易形成同一類型的新問題。例如：假定海倫在贈(zèng)予的每一步都遵循同樣的程序，即把她的唱片分成兩半再加上半張作為1份禮物．但這次做3次這樣的贈(zèng)送而非兩次，最后她一張唱片也沒有了，那么開始她有多少張唱片？結(jié)果非常有趣，唱片的數(shù)目與原來一樣，仍是7張。假如她把“對(duì)半分”的過程重復(fù)四次，最后剩下1張唱片，那么她開始有多少張唱片？5次呢？通過這些數(shù)字可以產(chǎn)生一個(gè)什么樣的數(shù)列呢？

　　另外，每次贈(zèng)送出禮品的參數(shù)可以是變化的。假如海倫每次贈(zèng)送出她的唱片的1/3再加上1張唱片的1/3，兩次后，她還剩下三張唱片，那么她開始總共有多少張唱片呢？如果重復(fù)上述過程三次，最后還剩下三張唱片，這題可解嗎？通過變化參數(shù)。包括步驟數(shù)、每一步的數(shù)量、最后剩下的完整唱片數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)在每一張唱片都不被割裂的情況下，此類問題并不是總有解的。那么需要什么樣的前提條件這類不需割裂唱片的題目才能設(shè)計(jì)出來呢？

　　其實(shí)，在每一步中，步與步的數(shù)量不一定要完全相同，比如：下面是一道每一步數(shù)目都變化的難題。

　　一個(gè)小孩養(yǎng)了一池金魚。一次他準(zhǔn)備全部將其賣掉，具體工作分成五步做：

　　1．他賣掉全部金魚的一半再加上半條魚；

　　2．他又賣掉剩下金魚的1/3再加上1/3條魚；

　　3．他再賣掉剩下金魚的1/4再加上1/4條魚；

　　4．他最后賣掉所剩魚的1/5再加上1/5條魚；

　　5．最后他一次賣掉剩下的全部11條魚。

　　其實(shí)在每一過程中都沒有任何一條魚被切開或毀環(huán)，那么他最開始有多少條金魚？雖然答案是59條，但這問題并不像前述問題一樣容易解答。這點(diǎn)當(dāng)你解答完畢后自然會(huì)明白。

　　下面是一道同一類型但稍有變動(dòng)的題。

　　一位女士袋內(nèi)有一定數(shù)量的鈔票，沒有其它錢幣，

　　1．她花了一半的錢買了一頂遮陽帽，并給了商店外的乞丐1元；

　　2．她花掉剩下錢的一半吃午飯并給侍者小費(fèi)2元；

　　3．她又花了剩下錢的一半買了一本書，回家前，又光顧雞尾酒家買了三元的飲料；

　　現(xiàn)在，她只剩下一元錢。假設(shè)她一直沒兌換過零錢，那么開始她有多少錢？(答案在書后找)稍加注意，你能發(fā)現(xiàn)在每種變化中，最后剩下的物件的數(shù)目總是已知的。雖然沒有這一條件題目最后也能解。但它需要整數(shù)不定方程的知識(shí)。這一類型中最著名的難題構(gòu)成了一則短故事的根據(jù)，這則故事被美國作家本?阿姆斯?威廉姆斯發(fā)表在1926年10月9日的“星期六晚報(bào)”上。

　　這個(gè)故事的標(biāo)題叫“椰子”。故事梗概是五個(gè)男人和一只猴子被失事的船擱淺在一座島上。第一天，他們花了一整天的時(shí)間采摘了一大堆椰子以備以后充饑。晚上，其中某一個(gè)人醒來后覺得應(yīng)該把他應(yīng)得的一份拿出來，于是他把整堆椰子分成五份，最后還剩下一個(gè)。他決定把這一個(gè)椰子分給猴子。然后他藏好他的一份后再整理好椰子堆，回去睡覺了。

　　不久又一個(gè)人醒了，并且產(chǎn)生了同樣的念頭。于是他把椰堆分成五份，最后又恰巧剩一個(gè)分給猴子。他如上整理好后也回去睡覺了。第三、四、五個(gè)人也重復(fù)了同樣的過程。第二天早晨，當(dāng)他們都醒后，把剩下的椰子分成均等的五份，這次正巧一個(gè)椰子也沒剩下。

　　那么最開始他們采摘了多少個(gè)椰子？

　　這個(gè)問題有無窮多個(gè)答案，其中最少的一個(gè)數(shù)是3121。這一問題很難。