奇偶檢驗(yàn)

　　布朗先生的女兒應(yīng)用所謂“奇偶檢驗(yàn)”解決了鋪磚問(wèn)題。如果兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，它們被稱(chēng)為同奇偶；如果一個(gè)是奇數(shù)而另一個(gè)是偶數(shù)，則稱(chēng)為相對(duì)奇偶。在組合幾何中也要經(jīng)常遇到相同的情況。

　　在本問(wèn)題中，兩塊同顏色是同奇偶，兩塊不同顏色是相對(duì)奇偶。顯然一塊矩形磚只覆蓋一對(duì)相對(duì)奇偶方磚。這個(gè)姑娘讓我們看到，當(dāng)19塊矩形磚鋪上后，剩余的兩塊只有是相對(duì)奇偶才能被矩形磚覆蓋；由于剩下的兩塊必然是同奇偶，它們不能被矩形磚覆蓋，所以院子鋪矩形磚是不可能的。

　　數(shù)學(xué)中許多不可能性證明也依賴(lài)奇偶檢驗(yàn)。你熟悉的著名歐幾里德證明：2的平方根不可能是有理數(shù)。這個(gè)證明的獲得首先假設(shè)根可以用最簡(jiǎn)有理分式來(lái)表示，分子和分母不可能都是偶數(shù)，否則分式就不是最簡(jiǎn)式。所以，它們只能是奇數(shù)，或一個(gè)是奇數(shù)、另一個(gè)是偶數(shù)。歐幾里德的證明顯示，這個(gè)分式二者都不是，既不都是奇數(shù)，又不相對(duì)奇偶。而每一個(gè)有理分式都應(yīng)是二者之一，所以2的平方根不是有理數(shù)。

　　假如不是應(yīng)用奇偶檢驗(yàn)，很難證明鋪磚的不可能性問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題尤其簡(jiǎn)單是因?yàn)樗�包括在多米諾(domino)骨牌中最簡(jiǎn)單的一種polyomino(把一系列單位塊拼在一起)，這個(gè)姑娘的不可能性證明可以適用于任何由單位塊構(gòu)成的矩陣中，當(dāng)矩陣被棋盤(pán)似地涂色后，一種顏色的單位塊比另一種顏色的至少多一塊。

　　在我們的問(wèn)題中，院子可以看做6×7的矩陣，缺了2個(gè)同顏色的塊。顯然，剩下的40塊不能由20塊“多米諾骨牌”覆蓋。一個(gè)有趣的相關(guān)問(wèn)題是：如果移去的2塊是不同顏色的，20塊“多米諾骨牌”就可以覆蓋了嗎？奇偶檢驗(yàn)不能證明其不可能性，但這并不意味著可能性永遠(yuǎn)存在著。無(wú)疑要移動(dòng)一對(duì)對(duì)的不同顏色的塊來(lái)檢查每一種可能的模式，這要分析過(guò)多的可能情況。有沒(méi)有簡(jiǎn)單的可能性證明呢？

　　有。它簡(jiǎn)潔、奇巧，是由Ralph ? Gomory的靈感解決的。假設(shè)6×7長(zhǎng)方形中有一個(gè)封閉路徑，一小格寬，見(jiàn)圖5。現(xiàn)在將路徑中任意兩個(gè)不同顏色的小塊移走，這將路徑分為兩部分，每部分都包括偶數(shù)個(gè)顏色相同的小格，很明顯這部分能被“多米諾骨牌”覆蓋，所以這個(gè)問(wèn)題總是有解的。你或許很想應(yīng)用一下這個(gè)巧妙的證明于任意大小、形狀的矩陣且缺兩個(gè)以上的小塊。

　　“鋪磚”理論是一種有趣的大面積的組合幾何，鋪設(shè)的區(qū)域可以是任意形狀的――有限的或無(wú)限的，磚的形狀同樣也可以變化。問(wèn)題中磚的形狀也可以不是同一形狀的，不可能性證明中經(jīng)常用兩種以上顏色標(biāo)記特定區(qū)域。

　　三維多米諾骨牌是1×2×4的塊，用這種塊很容易裝一個(gè)4×4×4的盒子，但用這種塊能裝6×6×6的盒子嗎？這個(gè)問(wèn)題也用布朗先生庭院?jiǎn)栴}方式來(lái)解答。假如把這個(gè)立方體分為27個(gè)小立方體，每個(gè)是2×2×2，黑白相間的標(biāo)識(shí)這些2度立方體，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，一種顏色比另一顏色多8個(gè)立方。不論一個(gè)塊用這種顏色的小塊怎樣堆積，它總是占據(jù)同樣數(shù)量的黑塊和白塊，但由于一種顏色的塊比另一種顏色的多8立方，不論前26塊怎樣放，總要剩8立方同顏色塊，所以它們不能被第27塊覆蓋，若要通過(guò)詳盡檢查每種可能的拼裝方式來(lái)證明其不可能性將會(huì)是超乎尋常的困難。

　　塊拼裝理論僅僅是三維空間堆積理論的一部分。在空間拼裝課題上，盡管有許多懸而未解的問(wèn)題，但已有大量的論文產(chǎn)生。許多問(wèn)題已應(yīng)用到商品的包裝及倉(cāng)庫(kù)商品的貯存等等方面。

　　奇偶性在核物理方面起著重要作用。1957年兩名華裔美國(guó)物理學(xué)家獲得諾貝爾獎(jiǎng)就是由于他們的工作推翻了著名的“奇偶守恒”定律。由于其太高的科技水平而不在此引入。但這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的硬幣小戲法，可以說(shuō)明奇偶的守恒。

　　在桌上扔一把硬幣，然后數(shù)一下呈現(xiàn)正面的硬幣數(shù)。若是偶數(shù)，我們說(shuō)正面具有偶數(shù)性；若是奇數(shù)，我們說(shuō)正面具有奇數(shù)性。然后翻轉(zhuǎn)一對(duì)硬幣，再一對(duì)，再一對(duì)，隨意選擇。你可以發(fā)現(xiàn)，不管翻轉(zhuǎn)多少對(duì)，正面的奇偶性是守恒的。如果開(kāi)始是奇數(shù)，結(jié)束時(shí)還是奇數(shù)；如果開(kāi)始時(shí)是偶數(shù)，結(jié)束時(shí)仍是偶數(shù)。

　　這就是這個(gè)聰明的小魔術(shù)的基礎(chǔ)。你轉(zhuǎn)過(guò)身去，讓一個(gè)人隨意一對(duì)對(duì)翻轉(zhuǎn)硬幣，再讓他用手蓋上任何一個(gè)硬幣，你轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，看一下這些硬幣，就能準(zhǔn)確地告訴他手下的硬幣是正面還是反面。秘密就是最初數(shù)一下正面的數(shù)量并記下來(lái)。不管正面數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)，因?yàn)槌蓪?duì)翻轉(zhuǎn)不影響其奇偶性，你只要在最后查一下正面數(shù)就能知道掩藏的硬幣是正面還是反面。

　　作為一種推廣，還可以讓某人用手蓋上兩個(gè)硬幣，你可以說(shuō)出被掩蓋的硬幣是同面還是互為反面。許多明面的紙牌戲法都可由這種奇偶檢驗(yàn)變化得來(lái)。