德國數學家大衛?希爾伯特（1862～1943）是20世紀最偉大的數學家之一．他對數學的貢獻是巨大的和多方面的，研究領域涉及代數不變式，代數數域，幾何基礎，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學和數學基礎等．他在1899年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數學公理化學派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學派的創始人．1900年希爾伯特38歲時在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演．在講演中，他根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢，以卓越的遠見和非凡的洞察力，提出了新世紀所面臨的23個問題．這23個問題涉及現代數學的大部分重要領域（著名的哥德巴赫猜想就是第8個問題中的一部分），對這些問題的研究有力地推動了20世紀各個數學分支的發展．下面是發生在希爾伯特年輕時候的故事。

    老師在課堂上現想現推

    1880年秋天，18歲的希爾伯特進人家鄉的哥尼斯堡大學，他不顧當法官的父親希望他學習法律的愿望，毫不猶豫地進了哲學系學習數學（當時的大學，數學還設在哲學系內）．希爾伯特發現當時的大學生活要多自由有多自由．意想不到的自由，使許多年輕人把大學第一年的寶貴時光都花費在學生互助會的傳統活動飲酒和斗劍上，然而對希爾伯特來說，大學生活的更加迷人之處卻在于他終于能自由地把全部精力給予數學了．

　 大學的第一學期，希爾伯特選學了積分學，矩陣論和曲面的曲率論三門課．根據規定。第二學期可以轉到另一所大學聽課，希爾伯特選擇了海德爾堡大學，這是當時德國所有大學中最討人喜歡和最富浪漫色彩的學校．希爾伯特在海德爾堡大學選聽拉撒路?富克斯的課．富克斯是微分方程方面的名家，他的名字和線性微分方程幾乎成了同義語．他講課確實與眾不同，給人的印象很深．課前他不大做準備，對要講的內容，在課堂上現想現推．于是常常發生這樣的情形，某個問題在黑板上推不下去了，這時他就再想另外一種方法，有時一連要換好幾種方法，但他最后總能推導出結果來．他就是這樣，習慣于在課堂上把自己置于危險的境地．這樣的課學生們如何看呢？他的一位學生后來回憶時寫道：這樣的課，使學生們“得到一個機會，瞧一瞧最高超的數學思維的實際過程．”

    可以想象，善于思考和學習的希爾伯特肯定會從中領悟到一個數學家是如何思考問題的，這種包括幾經碰壁終于找到解法的探索過程在教科書上無論如何是看不到的．把思考問題的實際過程展現給學生看，這樣做實際上是非常富于啟發性的．我國著名的數學方法論專家徐利治教授認為這一點對希爾伯特的成長肯定起過很好的作用．我想這一點對我們今天也很有啟發．學習數學不僅要學會這道題的解法，而且更要學會這個解法是如何找到的．即學會思考．